Fonction de deux normes

marco · February 2018

Bonjour,

Quelles sont les fonctions $f$ de $\R^2$ dans $\R$ telles que, pour toutes normes $\|\cdot\|_1,\|\cdot\|_2$ définies sur un espace vectoriel $E$, la fonction de $E$ dans $\R$ définie par $x \mapsto f(\|x\|_1,\|x\|_2)$ est aussi une norme ?
Je crois que les fonctions $f$ sont les normes de $\R^2$ telles que, pour tout $(a,b,c,d) \in (\R^+)^4$, si $f(a,b)\leq 1$ et $c\leq a$ et $d\leq b$, alors $f(c,d) \leq 1$.

Merci d'avance.

marco · February 2018

En effet, il ne suffit pas que $f$ soit une norme. Un contre-exemple est $f(a,b)=u|a-b|+v|a+b|$. Alors, si on choisit $E=\R^2$, et $\forall x\in E, \|x\|_1=|x_1|+|x_2|$ et $\|x\|_2=\max(|x_1|,|x_2|)$, ainsi que $x=(1,0), y=(0,1)$, on a $N(x+y)=u+3v, N(x)=2v, N(y)=2v$.

Donc si $u>v$, on n'a pas $N(x+y)\leq N(x)+N(y)$.
(où $u$ et $v$ sont deux nombres positifs et où on définit, pour tout $z\in E$, $N(z)=f(\|z\|_1,\|z\|_2)$)

Fonction de deux normes

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 21