Modélisation.
Salut à tous.
Question bizarre mais on me demande de savoir le faire dans une UE modélisation.
Si on obtient une droite d'équation $y = -0.8x - 3.2 $ en traçant le graphe d'une fonction $f$ sur l'intervalle $I=[0.2,6]$ dans une échelle semi-logarithmique en $y$, cela signifie que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $I$ par ?
Quelqu'un peut m'expliquer comment ça marche ?
Question bizarre mais on me demande de savoir le faire dans une UE modélisation.
Si on obtient une droite d'équation $y = -0.8x - 3.2 $ en traçant le graphe d'une fonction $f$ sur l'intervalle $I=[0.2,6]$ dans une échelle semi-logarithmique en $y$, cela signifie que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $I$ par ?
Quelqu'un peut m'expliquer comment ça marche ?
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Réponses
Par exemple, si la courbe de $f$ passe par le point $(1,1)$, cela veut dire que $f(1)=a$.
Plus généralement, si la courbe de $f$ passe par le point $(x,y)$, cela veut dire que $f(x)=a^y$.
Dans une échelle logarithmique, l'origine est le 1 et on place le nombre x à la distance $log_a(x)$ de l'origine. Donc on place 1 à la distance 0 de l'origine (en 1, c'est logique !) et a à la distance 1 de 1, a² à la distance 2, $\frac 1 a$ à la "distance" -1, donc à 1 de l'autre côté, $\frac 1 {a^2}$ à la "distance" -2, donc à 2 de l'autre côté, etc.
Dans un repère log-log, notons X et Y les vraies coordonnées (les deux axes se coupent en (x,y)=(1,1) donc en (X,Y)=(0,0). On a $X=log_a(x)$ et $Y=log_a(y)$. Tu sais que Y=-1,5X+0,9, donc $log_a(y)=-1,5log_a(x)+0,9$ ce qui te donne $y=log_a(0,9) x^{-1,5}$.
Comme aucune des réponses ne correspond, je ne sais quoi dire de cet exercice. J'ai pris une interprétation de l'énoncé "on obtient une droite d'équation Y=-1,5X+0,9", je n'en vois pas d'autre de réaliste. En général a=10, mais ce n'est pas une obligation (a=2 sert assez souvent).
Les échelles log-log sont très utilisées pas physiciens, chimistes et biologistes, pour faire apparaître des "lois de puissance" de la forme $y=ax^b$. La puissance est directement donnée par la pente de la droite (généralement ajustée) et on sait faire les ajustements pour ce type de loi.
Cordialement.