Produit scalaire fonction et différentielle

mehdi2625 · February 2018

Bonjour à tous,
Ma question porte sur une affirmation dans une démonstration que j’essaie de comprendre.

Soit f une fonction de Bⁿ sur Bⁿ (la boule unité de Rⁿ).
Si pour tout x dans Bⁿ, || f(x) ||² = 1, alors < f(x) , df_x(h) > = 0 pour tout h dans Rⁿ . Où df_x est la différentielle de f en x.

Ma question est donc quel est le résultat qui nous l'affirme ? j'ai cherché dans quelques livres (géométrie différentielle, calcul différentiel dans un espace de Hilbert...) en vain. Je ne sais pas si il y a une réponse facile qui m’échappe en tout cas j'ai besoin d'un peu d'aide. Merci d'avance pour vos réponses.

gb · February 2018

Bonjour,

Si la fonction $x \mapsto \lVert f(x)\rVert^2$ est constante, sa différentielle est nulle ; quelle est l'expression de cette différentielle en un point $x$ de la boule $B^n$ ?

mehdi2625 · February 2018

Merci pour votre réponse rapide. On ne donne pas d’expression de la différentielle de f en x, on sait juste que f envoie tout x de Bⁿ sur la sphère unité et que f est constante sur la sphère unité. La différentielle de la fonction g: x --> ||f(x)||² est nulle d'accord, mais quel est le lien entre la différentielle de g et de f ?

gerard0 · February 2018

Bonsoir.

" On ne donne pas d’expression de la différentielle de f en x," ben non, mais tu es supposé savoir le faire !! C'est ce que te demande Gb.
Bon travail personnel !

Poirot · February 2018

mehdi2625 a écrit:

La différentielle de la fonction g: x --> ||f(x)||2 est nulle d'accord, mais quel est le lien entre la différentielle de g et de f ?

Quel est le lien entre la dérivée de $f$ et la dérivée de $x \mapsto |f(x)|^2$ par exemple dans le cas $n=1$ ? Tu es censé savoir calculer la différentielle de $g$ en fonction de celle de $f$ !

Amathoué · February 2018

Bonsoir,

Tu dois exprimer $d_x g$ en fonction de $d_x f$. Quant à $d_x f$, il ne t'intéresse pas (pas pour la question que tu poses). Et ensuite tu te réfères à l'indication de @gb.

mehdi2625 · February 2018

Merci pour vos réponses. Je m'en suis effectivement sorti en exprimant d_xg. Je pensais que GB me demandait l'expression de d_xf dans la preuve en question d'où ma réponse maladroite.

Produit scalaire fonction et différentielle

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