Produit scalaire fonction et différentielle
Bonjour à tous,
Ma question porte sur une affirmation dans une démonstration que j’essaie de comprendre.
Soit f une fonction de Bn sur Bn (la boule unité de Rn).
Si pour tout x dans Bn, || f(x) ||2 = 1, alors < f(x) , dfx(h) > = 0 pour tout h dans Rn . Où dfx est la différentielle de f en x.
Ma question est donc quel est le résultat qui nous l'affirme ? j'ai cherché dans quelques livres (géométrie différentielle, calcul différentiel dans un espace de Hilbert...) en vain. Je ne sais pas si il y a une réponse facile qui m’échappe en tout cas j'ai besoin d'un peu d'aide. Merci d'avance pour vos réponses.
Ma question porte sur une affirmation dans une démonstration que j’essaie de comprendre.
Soit f une fonction de Bn sur Bn (la boule unité de Rn).
Si pour tout x dans Bn, || f(x) ||2 = 1, alors < f(x) , dfx(h) > = 0 pour tout h dans Rn . Où dfx est la différentielle de f en x.
Ma question est donc quel est le résultat qui nous l'affirme ? j'ai cherché dans quelques livres (géométrie différentielle, calcul différentiel dans un espace de Hilbert...) en vain. Je ne sais pas si il y a une réponse facile qui m’échappe en tout cas j'ai besoin d'un peu d'aide. Merci d'avance pour vos réponses.
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Réponses
Si la fonction \(x \mapsto \lVert f(x)\rVert^2\) est constante, sa différentielle est nulle ; quelle est l'expression de cette différentielle en un point \(x\) de la boule \(B^n\) ?
" On ne donne pas d’expression de la différentielle de f en x," ben non, mais tu es supposé savoir le faire !! C'est ce que te demande Gb.
Bon travail personnel !
Quel est le lien entre la dérivée de $f$ et la dérivée de $x \mapsto |f(x)|^2$ par exemple dans le cas $n=1$ ? Tu es censé savoir calculer la différentielle de $g$ en fonction de celle de $f$ !
Tu dois exprimer $d_x g$ en fonction de $d_x f$. Quant à $d_x f$, il ne t'intéresse pas (pas pour la question que tu poses). Et ensuite tu te réfères à l'indication de @gb.