Fonction Gamma d'Euler

Bonjour tout le monde,
pour montrer la continuité de la fonction $\Gamma$ d'Euler $\Gamma(x)=\int^{+\infty}_0 t^{x-1}e^{-t}dt$ on peut recourir au théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre.
on pose $f(x,t)=t^{x-1}e^{-t}$
pour $t >0$ fixé on a $\forall x \in \mathbb R,\ f(x,t)$ est continue car $f(x,t)=e^{(x-1)\ln(t)}.e^{-t}$ continue sur $\mathbb R$
pour $x\in \mathbb R$ fixé $\forall t \in ]0,+\infty[,\ f(x,t)$ est continue car $f(x,t)=e^{(x-1)\ln(t)}.e^{-t}$ continue $\mathbb R^*_+$
l'hypothèse de domination est vérifiée sur tout compact de $\mathbb R$ donc la fonction $\Gamma$ est continue sur $\mathbb R$.
Je ne sais pas où est l'erreur mais normalement elle n'est continue que sur $]0,+\infty[$ car pour $x<0$ elle n'est pas intégrable.