Limite avec logarithme népérien
Bonsoir à tous je souhaite calculer la limite suivante : $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}_{x>0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^{2}}$. Je propose 3 méthodes que voici:
1- Avec un DL à l' ordre 2 on montre facilement que la limite est -1/2.
2- La règle de l' Hôpital donne le même résultat.
3- Et enfin par changement de variable $ u=x^2$ on obtient:
$\displaystyle \lim\limits_{u\rightarrow 0}\frac{\ln(1+\sqrt{u})-\sqrt{u}}{u}$
la fonction $\ln(1+\sqrt{u})-\sqrt{u}$ est dérivable en 0 et son nombre dérivée est -1/2.
C' est là que je bloque.
Je m' explique :
En fait cette dernière est bien dérivable puisque l'étude de sa dérivabilité impliquerait de calculer la limite proposée et cette limite existe bel et bien et donne -1/2.
Mais comme le problème consiste justement à calculer cette limite alors:
Question : Comment étudier sa dérivabilité sans calculer la limite donnée ? Suffit-il juste d' affirmer (sans démonstration) qu'elle est dérivable et conclure ?
Quelle autre méthode de calcul puis je utiliser ?
Je précise que je m'intéresse particulièrement à la méthode 3 car je propose une solution pour le niveau terminal C (Scientifique dans le système ouest-africain ) où les notions de DL et la règle de l' Hôpital ne sont pas au programme
si l' on peut calculer la limite du départ par des manipulations algébriques je suis aussi preneur.
En fait toute méthode ne faisant pas intervenir des notions du supérieur m'intéresse
Toute aide me sera utile. Merci d’avance
1- Avec un DL à l' ordre 2 on montre facilement que la limite est -1/2.
2- La règle de l' Hôpital donne le même résultat.
3- Et enfin par changement de variable $ u=x^2$ on obtient:
$\displaystyle \lim\limits_{u\rightarrow 0}\frac{\ln(1+\sqrt{u})-\sqrt{u}}{u}$
la fonction $\ln(1+\sqrt{u})-\sqrt{u}$ est dérivable en 0 et son nombre dérivée est -1/2.
C' est là que je bloque.
Je m' explique :
En fait cette dernière est bien dérivable puisque l'étude de sa dérivabilité impliquerait de calculer la limite proposée et cette limite existe bel et bien et donne -1/2.
Mais comme le problème consiste justement à calculer cette limite alors:
Question : Comment étudier sa dérivabilité sans calculer la limite donnée ? Suffit-il juste d' affirmer (sans démonstration) qu'elle est dérivable et conclure ?
Quelle autre méthode de calcul puis je utiliser ?
Je précise que je m'intéresse particulièrement à la méthode 3 car je propose une solution pour le niveau terminal C (Scientifique dans le système ouest-africain ) où les notions de DL et la règle de l' Hôpital ne sont pas au programme
si l' on peut calculer la limite du départ par des manipulations algébriques je suis aussi preneur.
En fait toute méthode ne faisant pas intervenir des notions du supérieur m'intéresse
Toute aide me sera utile. Merci d’avance
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Réponses
Justement c'est pour ça que je cherche mieux que la méthode de dérivabilité pour calculer la limite
mais sans succès jusqu'à lors.
D' autres suggestions sont les bienvenus