Intégrale impropre

Kinorii · February 2018

Bonjour
Je suis actuellement en Licence de maths et j'étudie les intégrales impropres.
Il y a un exercice qui me pose beaucoup de problèmes.

La converge de l'intégrale en 0 et +infini de : (1-sin²(x))/x^(1/2)

Je sais qu'il faut la couper entre 0 et 1 puis entre 1 et +infini mais après ..
J'ai essayé beaucoup de choses, majoration / minoration (je n'ai pas d'idées de base sur sa convergence), valeur absolue etc etc mais je n'ai jamais eu de résultats.
Si jamais vous avez une piste.
Cordialement.

gb · February 2018

Bonjour,

Pour étiudier la convergence sur $]0,1]$, un équivalent suffit ; sur $[1,+\infty[$, je pratiquerais une intégration par parties afin d'augmenter l'exposant au dénominateur et lui faire dépasser la valeur fatidique de 1.

Math Coss · February 2018

Si tu dois prendre la valeur absolue, c'est que tu rates quelque chose d'important : le sinus d'un nombre réel est compris entre $-1$ et $1$ et (donc) son carré aussi ; quant à la racine carrée d'un réel positif, elle est elle même positive (ou nulle à la limite).

Oui, on coupe l'intégrale en deux. Au voisinage de $0$, on trouve un équivalent de la fonction à intégrer. Ici, c'est assez débile vu que le dénominateur est de la forme « $1$ plus un truc qui tend vers $0$ ». Et l'équivalent est 1) de signe constant et 2) intégrable donc...

Au voisinage de l'infini, une façon de faire consiste à constater que l'intégrale sur $[n\pi,(n+1)\pi]$ est supérieure à celle de $(1-\frac12)/\sqrt{x}$ sur $[(n+\frac14)\pi,(n-\frac{1}4)\pi]$ : pourquoi et qu'en tire-t-on ?

Kinorii · February 2018

J'ai essayé l'IPP , qui me donne des intégrales , assez sales notamment à cause des primitives et je ne retombes pas sur quelque chose de familier ( sin(t)/t de préférence ) , je m'y prends surement mal.

Pour ce qui est de votre idée Math Coss , ce qui est du pourquoi j'ai du mal à le voir.
Mais ce qu'on en tirer c'est surement qu'on minore par quelque chose qui diverge ? L'intégrale de (1-1/2)/x^(1/2) ?

Kinorii · February 2018

Puisque sin(x) est compris entre -1 et 1 , et sin^2 entre 0 et 1 à fortiori , on peut dire que 1+sin^2(x)/x^(1/2) > 1/x^(1/2) qui diverge en 1 et infini ?

gb · February 2018

Avec (et la découpe plus sympathique sur $]0,\pi]$ et $[\pi,+\infty[$) :
\begin{align} u&=\frac{1}{x^{1/2}} & u'&=-\frac{1}{2x^{3/2}} \\
v'&=1-\sin^2x=\cos^2x = \frac{1+\cos(2x)}{2} & v&=\frac{x}{2}-\frac{\sin(2x)}{4} \end{align}
l'intégration par parties fournit :
\[\int_\pi^A \frac{1-\sin^2x}{x^{1/2}}\,dx =A^{1/2}-\pi^{1/2}-\frac{\sin(2A)}{4A^{1/2}} + \int_\pi^A \frac{1}{4x^{1/2}}\,dx - \int_\pi^A \frac{\sin(2x)}{8x^{3/2}}\,dx\]
où l'une des intégrles se calcule et l'autre s'étudie facilement (?).

jean lismonde · February 2018

Bonsoir
Attention ! ton intégrale diverge en effet elle s'écrit : $$
\int_0^{+\infty}\frac{\cos^2t}{\sqrt{t}}dt = \int_0^{+\infty}\frac{dt}{2\sqrt{t}} + \int_0^{+\infty}\frac{\cos(2t)}{2\sqrt{t}}dt
$$ la seconde intégrale converge : (après un changement de variable 2x = t) on reconnaît une intégrale de Fresnel égale à $\frac{\sqrt{\pi}}{4}$

Mais la première intégrale du second membre diverge bien sur la borne supérieure

Cordialement

Math Coss · February 2018

Ah, normal que vous ne soyez pas convaincus, je me suis planté, désolé.
Il aurait fallu écrire : $1-\sin^2x\ge0$ pour tout $x$ et, pour tout $n\in\N$ et tout $x\in\left[n\pi-\frac\pi4,n\pi+\frac\pi4\right]$, $1-\sin^2x\ge\frac12$ (je crois). Cela permet en effet de comparer à quelque chose qui diverge sans faire d'intégration par parties.

gb · February 2018

Bonjour,

En écrivant, comme je l'ai fait pour le calcul de primitive : $1-\sin^2x=\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}$, il est immédiat que le numérateur est, non seulement positif, mais oscille autour de la valeur médiane $1/2$, et qu'en se plaçant sur les bons intervalles, on a une minoration efficace de l'intégrale (ce qu'on appelait le critère de Cauchy quand j'étais petit).

Intégrale impropre

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