Théorème de Hartogs
Bonjour.
Lorsque je lis l'énoncé de ce théorème, quelque chose me chiffonne, je n’arrive pas à voir en quoi ce n'est pas un cas particulier (ou un corollaire) du prolongement analytique ... (cas d'un ouvert dans lequel le complémentaire d'un sous-ensemble compact est connexe)
Pourtant, il faut bien que ce soit différent car le théorème de Hartogs est sensé censé être faux en dimension $1$ contrairement au prolongement analytique.
Lorsque je lis l'énoncé de ce théorème, quelque chose me chiffonne, je n’arrive pas à voir en quoi ce n'est pas un cas particulier (ou un corollaire) du prolongement analytique ... (cas d'un ouvert dans lequel le complémentaire d'un sous-ensemble compact est connexe)
Pourtant, il faut bien que ce soit différent car le théorème de Hartogs est sensé censé être faux en dimension $1$ contrairement au prolongement analytique.
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Réponses
Dans le prolongement analytique, les fonctions sont supposées holomorphes là où on va les étendre.
Le principe du prolongement analytique ne suppose rien sur l'holomorphie "où on va étendre la fonction" (sinon la fonction serait déjà définie à cet endroit !), il donne juste l'unicité d'un tel prolongement.
(que je cherche à comprendre) entre eux.
coincident sur un ouvert non vide de $U$ alors elles coincident sur $U$.
D'ailleurs, une autre façon d'énoncer le prolongement analytique serait de dire que si $U$ est un ouvert connexe non vide de $\C^n$ et $x$ un point de $U$ alors les germes de fonctions holomorphes en $x$ s'identifient aux fonctions holomorphes sur $U$, n'est-ce pas ?
Je dirais plutôt que ces germes s'identifient aux fonctions holomorphes au voisinage (dans $U$) de $x$.