Questions sur les équivalents
Bonjour à tous,
Je ne suis pas très à l'aise avec les équivalents et j'ai une question à ce sujet à vous poser. Soit $\tau_n$ une suite qui tend vers $0$. J'ai une suite réelle $v_n$ telle que $$
v_n=\frac{1+O(\tau_n)}{(1+O(\tau_n))(1+O(\tau_n))} \sim 1+O(\tau_n).
$$ Est-ce qu'on peut dire que du coup
$v_n - 1 \sim O(\tau_n)$ et que donc $v_n = 1+O(\tau_n)$ ?
Merci pour vos réponses
Je ne suis pas très à l'aise avec les équivalents et j'ai une question à ce sujet à vous poser. Soit $\tau_n$ une suite qui tend vers $0$. J'ai une suite réelle $v_n$ telle que $$
v_n=\frac{1+O(\tau_n)}{(1+O(\tau_n))(1+O(\tau_n))} \sim 1+O(\tau_n).
$$ Est-ce qu'on peut dire que du coup
$v_n - 1 \sim O(\tau_n)$ et que donc $v_n = 1+O(\tau_n)$ ?
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Réponses
Quand on a des doutes sur les équivalents, rien de mieux que d'en revenir à la défiition : $f \sim g$ au voisinage de $a$ si $f=g(1+o(1))$ au voisinage de $a$ !
Ici, $v_n \sim 1 + O(\tau_n)$ veut dire $v_n = (1+O(\tau_n))(1+o(1)) = 1 + O(\tau_n) + o(1)$ puisque $\tau_n$ tend vers $0$. On ne peut rien dire de plus, puisqu'on ne sait pas si le $o(1)$ en question est borné par $\tau_n$.
Ma phrase semble "difficile" mais faire cela simplifie tellement la compréhension...
Bref, si on utilise l'équivalent $v_n\sim(1+O(\tau_n))$, on a perdu beaucoup d'information puisque cette relation signifie exactement $v_n\sim 1$, c'est-à-dire $\lim_{n\to\infty}v_n=1$.
Néanmoins, l'hypothèse initiale permet de déduire que $v_n=1+O(\tau_n)$. En effet, au dénominateur, on a : $(1+O(\tau_n))(1+O(\tau_n))=1+O(\tau_n)$ (pourquoi au fait ?) et $(1+O(\tau_n))^{-1}=1+O(\tau_n)$ (pourquoi d'ailleurs ?), de sorte que $v_n=1+O(\tau_n)$ (pourquoi enfin ?).
Autre question du coup :
Soit $v_n$ une suite équivalente à une suite $u_n$. Alors est-ce que $v_n-1 \sim u_n -1$ ?
En effet, en tenant compte de vos remarques on a
$\displaystyle \frac{v_n-1}{u_n-1} = \frac{u_n(1+o(1))-1}{u_n-1} =1+\frac{u_no(1)}{u_n-1} = 1+\frac{o(1)}{1-1/u_n} $ et ça tend toujours vers $1$ non ?
Bonjour,
\[1+\frac{1}{n}\sim1+\frac{1}{n^2}\overset{??}\implies\left(1+\frac{1}{n}\right)-1\sim\left(1+\frac{1}{n^2}\right)-1\]
$v_n = \frac{1+O(\tau_n)}{1+O(\tau_n)} = (1+O(\tau_n))(1+O(\tau_n)) = 1 + O(\tau_n)$
Avec un $o$ c'est juste, à partir d'un certain rang.
Edit : j'oubliais que $\tau$ tend vers $0$.