conditions au bord en dimension n
Bonjour,
sur l'intervalle $(0,1)$ [s'agit-il de $]0,1[$ ou de $[0,1]$ ? AD] on pose les conditions au bord suivantes: $u(0)=u(1)$ et $u'(0)=u'(1)$. Comment écrire ces conditions au bord sur $(0,1)^n$ où $n \geq 2$ ?
Je l'ai fait pour la dimension $n=1$ on aura: $u(0,y)=u(1,y), \partial_1(0,y)=\partial_1(1,y), u(x,0)=u(x,1), \partial_2(x,0)=\partial_2(x,1)$. Mais je ne sais pas comment écrire une formule générale pour tout $n \geq 2.$.
Merci d'avance.
[Pourquoi utiliser des notations ambiguës, alors qu'il existe des notations claires et compréhensibles ! AD]
sur l'intervalle $(0,1)$ [s'agit-il de $]0,1[$ ou de $[0,1]$ ? AD] on pose les conditions au bord suivantes: $u(0)=u(1)$ et $u'(0)=u'(1)$. Comment écrire ces conditions au bord sur $(0,1)^n$ où $n \geq 2$ ?
Je l'ai fait pour la dimension $n=1$ on aura: $u(0,y)=u(1,y), \partial_1(0,y)=\partial_1(1,y), u(x,0)=u(x,1), \partial_2(x,0)=\partial_2(x,1)$. Mais je ne sais pas comment écrire une formule générale pour tout $n \geq 2.$.
Merci d'avance.
[Pourquoi utiliser des notations ambiguës, alors qu'il existe des notations claires et compréhensibles ! AD]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
En dimension superieure on écrit les conditions aux bords avec $\Gamma$ (Frontiere de $\Omega$)
Par exemple
1-$u=0$ sur $\Gamma$
2-$\frac {\partial u} {\partial \eta} =0$ sur $\Gamma$
3-$u=0$ sur $\Gamma_1$, $\frac {\partial u} {\partial \eta} =0$ sur $\Gamma_2$ avec $\Gamma_1\cup \Gamma_2=\Gamma$
4- .....
Les conditions décrites sur le segment $[0;1]$ sont celles satisfaites par les fonctions dérivables qui sont la restriction d'une fonction 1-périodique.
Dans $\mathbb{R}^n$, on peut bien sûr se poser la même question en restreignant au pavé unité, mais la périodicité aurait pour périodes les vecteurs à coordonnées entières.
Dans ce cas, il ne suffit pas d'avoir recollabilité des dérivées partielles dans la direction normale au bord, mais de l'avoir pour toute la forme différentielle $\mathsf{d}f$ au bord.
Il manque alors, aux conditions écrites, celles pour la composante tangentielle au bord : $\partial_1 f(x,0) = \partial_1 f(x,1)$ etc.
Mais nous ne sommes pas en Anglo-Saxonnie…
L’ambiguïté est surtout dans le nombre de significations de la suite de symboles $(a,b)$ !
Faut-il en ajouter une supplémentaire ? Par paresse de taper les touches [ et ] !
Alain