Démonstration par récurrence

Gloyom
Gloyom
dans Analyse
Bonjour,

Je suis actuellement en difficulté sur cette question.
L'énoncé en pièce-jointe.
Pour l'initialisation, j'ai initialisé en n = 0 mais est-ce suffisant ?
Pour l'hérédité, je ne sais pas comment m'y prendre, dois-je mettre à la place du k un k+1 et essayer de développer ?
Et au niveau de la conjecture, je ne vois pas quoi dire ...

Pourrais-je avoir des indications ?
Merci pour votre aide.
Cordialement.

Réponses

  • killersmile38
    killersmile38
    Ta question est curieuse... si tu ne vois pas quoi dire pour la conjecture, qu'essayes-tu donc de démontrer par récurrence ?
  • Dom
    Dom
    Bonjour,

    Si tu n'as pas de conjecture, c'est que tu ne sais pas quoi démontrer. (Edit : je ne l'avais pas vu mais c'est ce que dit le message précédent).
    Et alors, il est impossible d'engager une récurrence. Même l'initialisation est obscure, non ?

    Comme indications :
    On peut trouver une infinité de conjecture.
    Là, l'auteur en attend une, peut-être d'autres...
    Premier réflexe : calculer explicitement (la forme développée) $P_0$, $P_1$, et les suivants jusqu'à $P_6$.
    En d'autres termes : trouver explicitement les coefficients de chacun de ces polynômes.
    On verra bien si quelque chose est à remarquer...
  • Styxx
    Styxx
    Commence par conjecturer... que valent $P_0$, $P_1$, $P_2$ ? De plus tu peux facilement trouver une relation de récurrence entre $P_{n+1}$ et $P_{n}$ pour tout entier naturel $n$, qui devrait t'aider pour la récurrence.
  • Gloyom
    Gloyom
    En calculant n=0, n=1, n=2 ... j'ai remarqué que la forme reste la même sauf que le degré augmente , on arrive à une forme .

    Mais mis à part dire ça pour la conjecture, je ne vois pas quoi dire.

    Merci pour vos réponses.
  • Gloyom
    Gloyom
    Je pense que je devrais commencer à répondre à la question en disant que la forme développée reste la même mais augmente en degré suivant n.
    Et après avec la récurrence retomber sur cette forme.
    Pour l'initialisation, si je calcule P0, est-ce suffisant ?
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour,

    Si tu ne sais pas conjecturer, utilise un logiciel de calcul formel pour le faire pour toi :-)
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=\prod_{k=0}^n+(1+x^2^k)
    Le 😄 Farceur


  • Gloyom
    Gloyom
    gebrane
    Merci beaucoup ! Du coup maintenant en initialisant j'ai deux conditions, et si je retombe sur le même résultat, mon initialisation est vraie pour ce rang :)

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Lorsque tu écris la forme développée \(1+X+\dotsb+X^n\), les coefficients sont corrects, mais il te reste un problème de degré.
  • gebrane
    gebrane
    @Gloyom J'ai corrigé le lien vers wolfram
    Le 😄 Farceur


  • ev
    ev
    C'est le même \( n \) ?

    Quel est le degré du polynôme \( P_n \) ? ça doit pouvoir se démontrer par récurrence ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Gloyom
    Gloyom
    Est-ce que cette forme est la forme développé ? (fichier joint)
    .
  • Gloyom
    Gloyom
    ev écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1615826,1615864#msg-1615864
    [Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
    J'ai trouvé que son degré est le suivant
    ..
  • Gloyom
    Gloyom
    Je viens de trouver que la forme développé est : (document joint)

    À l'initialisation ça fonctionne maintenant.
    Pour l'hérédité, je vais essayer de passer la forme développée au rang n+1 et faire de même de l'autre côté de l'égalité pour essayer de retomber sur la même forme développée.
    Je ne sais pas si c'est correct mais je vais essayer.
    Merci pour votre aide

    ..
  • ev
    ev
    C'est bien parti.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Gloyom
    Gloyom
    J'ai l'impression de tenir une idée...
    ..
  • ev
    ev
    Une chance sur deux...

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Styxx
    Styxx
    Pourquoi écris-tu $\frac{X^{2^{n+1} - 1}}{X-1}$ au lieu de $\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1} X^{2^k}$ ?
    Tu manipules des polynômes et non des nombres réels, la première expression n'est pas un polynôme.
  • bisam
    bisam
    @Styxx : Si le polynôme $B$ divise le polynôme $A$, qu'est-ce qui t'empêche de noter $\dfrac{A}{B}$ le quotient de $A$ par $B$ ? C'est un polynôme, peu importe sa notation !
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