Équation complexe

Bonjour,

Pour $n \in \mathbb N$, on veut résoudre l'équation $\bar z=z^{2n-1}$

1) on demande déjà de résoudre lorsque $n=0$.
L'équation devient alors $\bar z =z^{-1}$
En posant $z=re^{i \theta}$ avec $r \in \mathbb R_+$ et $\theta \in \mathbb R $, on a $\bar z=re^{-i \theta}$ et $z^{-1}=\frac{1}{r}e^{-i \theta}$
l'équation devient $re^{-i \theta}=\frac{1}{r}e^{-i \theta}$ soit $r^2=1$ et $\theta \in \mathbb R$

L'ensemble des solutions est donc $S=\{z=re^{i \theta} $ avec $ r=1 $ et $ \theta \in \mathbb R \}$

2) on demande déjà de résoudre lorsque $n=1$.
L'équation devient $\bar z =z$
On en déduit l'ensemble des solutions : $\quad S=\mathbb R $

3) pour $n \geq 2$, on demande de montrer que $|z|=0$ ou $|z|=1$ (démonstration directe).
Puis on demande de résoudre l'équation.
Si $|z|=0$, la seule solution est $z=0$
Si $|z|=1$, on pose $z=e^{i \theta}$

L'équation devient $e^{-i \theta}=e^{i(2n-1) \theta}$
$1=e^{i(2n) \theta}$
Soit $(2n) \theta = 2k \pi$ avec $k \in \mathbb Z$
Donc $ \theta = \frac{k}{n} \pi$
L'ensemble des solutions est donc $\quad S=\{z=e^{i \theta} $ ou $ z=0 $ \ $ \theta = \frac{k}{n} \pi $ et $ k \in \mathbb Z \}$

Juste ?