Série entière

Bruce · February 2018

Bonjour,
On dit qu'une fonction est developpable en serie entière en 0 si il existe un voisinage de 0 dans lequel
$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$
si dans une question on trouve que
$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{2n+1}$ sur $I$
on peut dire que $f$ est DSE, en effet il suffit de considerer la suite $b_n=a_n$ si $n$ est paire et nulle si $n$ est impaire
mais dans ce cas $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{n^2}$
plus generalement $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_{\phi(n)}x^{\phi(n)}$
est une fonction developpable en série entière ??

gb · February 2018

$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{2n+1}$ sur $I$
on peut dire que $f$ est DSE, en effet il suffit de considérer la suite $b_n=a_n$ si $n$ est paire et nulle si $n$ est impaire

Plutôt $b_n=a_{n/2}$ lorsque l'entier (masculin) $n$ est paire. [edit : de plus, c'est la mauvaise parité de l'indice vis à vis de l'exposant…]

$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{n^2}$

\[b_n = \begin{cases} a_{\sqrt n} & \text{si } n \text{ est carré parfait} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}\]

$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_{\phi(n)}x^{\phi(n)}$

J'imagine que $\phi$ est strictement croissante, donc injective ; alors :

\[b_n = \begin{cases} a_{\phi^{-1}(n)} & \text{si } n\in\phi(\mathbf{N}) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}\]

Poirot · February 2018

Il faut imaginer la suite des coefficients de ta série entière et le résultat est plus clair.

Dans le cas général, il s'agit de $(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, \dots)$. Pour celle avec les $x^{2n+1}$ cela donne $(0,a_0,0,a_1,0,a_2,0,\dots)$. Pour celle avec les carrés, $(a_0, a_1, 0, 0, a_2, 0, 0, 0, 0, a_3, 0, \dots)$. Il s'agit juste de comprendre les "positions" des coefficients.

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