Polynômes de Fibonacci

Bonjour
Je viens demander de l'aide pour un petit problème de raisonnement et de rigueur que je me pose sur les polynômes de (type) Fibonacci.

Énoncé : On définit une suite de polynômes par : $$
\left\{
\begin{array}{ll}
P_0(x) = 1\\
P_1(x) = x\\
P_{n+2}(x) = 2XP_{n+1}(X) - P_n\\
\end{array}
\right.
$$ Question qui me pose problème : Quelque soit $n$, étudier la parité de $P_n$.
$P_0 = 1$ pair
$P_1 = X$ impair
$P_2 = 2X^2-1$ pair
$P_3 = 4X^3-3X$ impair
$P_4 = 8X^4 - 8X^2 +1$ pair
...
On conjecture donc que si $n$ est pair $P_n$ est pair et si $n$ est impair $P_n$ aussi.

Pour le montrer je pensais procéder par récurrence.
Initialisation : voir ci-dessus
Hérédité : Soit $P_n$ un polynôme de la suite ci-dessus, si $n$ est pair alors par hypothèse de récurrence $P_n$ est pair montrons que $P_{n+2}$ est aussi pair.
Seulement j'ai besoin (vu la définition de $P_{n+2}$) de savoir que $P_{n+1}$ est impair or c'est ce que je souhaite montrer par une autre récurrence.

Puis-je supposer que tous les $P_{2n+1}$ sont impairs pour montrer que les $P_{2n}$ sont pairs puis faire l'inverse après ? Sinon comment devrais-je rédiger cela rigoureusement ?
Merci par avance
Bonne journée