fonction de deux variables avec une intégrale

Je considère $f$ une fonction de classe ${\mathcal C}^1$ sur ${\Bbb R}^2$.
On définit la fonction de deux variables : $$\phi(x,y) = \int_0^yf(x,t){\rm d}t.
$$ L'application partielle $y \mapsto \int_0^yf(x,t){\rm d}t$ est dérivable car c'est une primitive de la fonction partielle $t \mapsto f(x,t)$ qui est continue.
Et on a $$\frac{\partial \phi}{\partial y}(x,y) = f(x,y)
$$ En utilisant le théorème de dérivation des intégrales à paramètre, on montre que l'application partielle $x \mapsto \int_0^yf(x,t){\rm d}t$ est dérivable et $$
\frac{\partial \phi}{\partial x}(x,y) = \int_0^y\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) {\rm d}t.
$$ Maintenant on pose $\Delta(x) = \phi(x,x)$. La question c'est de montrer que $\Delta$ est dérivable.

Comment faire ?
Cela revient à dire que $\phi$ admet une dérivée directionnelle selon le vecteur $(1,1)$.
Je me suis dit qu'on va carrément montrer que $\phi$ est de classe ${\mathcal C}^1$ sur ${\Bbb R}^2$.
$\phi$ admet des dérivées partielles comme on vient de le voir. La dérivée partielle par rapport à $y$ est $f$ donc elle est continue.
Mais comment montrer que la fonction de deux variables $$(x,y) \mapsto \frac{\partial \phi}{\partial x}(x,y) = \int_0^y\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) {\rm d}t$$ est continue ?
Ou alors on montre directement la dérivabilité de la fonction d'une variable $$x \mapsto \int_0^xf(x,t){\rm d}t$$ en revenant avec le taux de variation ? Mais cela me parait bien compliqué.
Des idées ?