Développement limité

Bonjour,

Le coefficient de \(u^k\) dans le développement limité de \((1+u)^\alpha\) est :
\[a_k = \frac{1}{k!}\prod_{l=0}^{k-1}(\alpha-l).\]

Dans le cas particulier : \(\alpha=-1/2\), ton problème est d'établir :
\[\prod_{l=0}^{k-1}(\alpha-l) = (-1)^k\frac{(2k)!}{4^k k!}.\]
Le produit contenant \(k\) facteurs :
\[\prod_{l=0}^{k-1}(\alpha-l) = \prod_{l=0}^{k-1}\left(-\frac{2l-2\alpha}{2}\right) = \frac{(-1)^k}{2^k} \prod_{l=0}^{k-1}(2l+1)\]
où le dernier produit contient tous les entiers impairs de \(1\) à : \(2(k-1)+1=2k-1\).
Pour obtenir \((2k)!\), il faut faire intervenir le produit des entiers pairs de \(2\) à \(2k\) :
\[\prod_{l=0}^{k-1}(\alpha-l) = \frac{(-1)^k}{2^k} \frac{(2k)!}{\prod_{l=1}^k(2l)} = \frac{(-1)^k}{2^k} \frac{(2k)!}{2^k\prod_{l=1}^k l} = (-1)^k \frac{(2k)!}{4^k k!}\]
et la forme voulue pour l'expression du coefficient du développement limité.