inégalité

Bonjour,

Le choix de \(t_0\) force à \(1\) la valeur du sinus au carré dans l'inégalité précédente ; et il s'agit ensuite d'une classique comparaison de la somme partielle d'une série à une intégrale :
\[\forall k\in\mathbf{N} \qquad \int_k^{k+1} \frac{ds}{2s+1} < \int_k^{k+1} \frac{ds}{2k+1} = \frac{1}{2k+1}\]
On obtient alors, avec en fait une étape supplémentaire :
\[\sum_{k=0}^N \frac{1}{2k+1} > \sum_{k=0}^N \int_k^{k+1} \frac{ds}{2s+1} = \int_0^{N+1} \frac{ds}{2s+1} > \int_0^N \frac{ds}{2s+1}.\]