Formule de Moivre, développement

zewubezew · February 2018

Bonjour
Dans le cadre d'un problème je dois trouver l'unique polynôme tel que $P_n(cotan(t)^2) = \dfrac{\sin\big((2n+1)t\big)}{\sin(t)^{2n+1}}$.

Pour cela on m'indique que je devrais utiliser la formule de Moivre. Donc je pensais "développer" $\sin\big((2n+1)t\big)$ mais je ne vois pas trop comment m'y prendre quelqu'un aurait-il une piste ?

Merci beaucoup !

killersmile38 · February 2018

$\sin(k t)$ est la partie imaginaire de $e^{ikt}=(e^{it})^k=(\cos(t)+i\sin(t))^k.$

A toi !

zewubezew · February 2018

Merci beaucoup pour votre réponse j'avais ça aussi mais en fait je suis coincé car cela me donne :
$\dfrac{Im((\cos(t)+i\sin(t))^{2n+1})}{\sin(t)^{2n+1}}$

Mais après ...
Désolé de ne pas donner l'impression de beaucoup m'investir mais je suis vraiment bloqué

marsup · February 2018

Ben, on a la puissance d'une somme, au numérateur.

Que faire d'autre que la développer par le binôme de Newton ?

zewubezew · February 2018

Oui effectivement.
Du coup j'ai un peu avancé j'ai trouvé : $$
\frac{\sin(nt)}{\sin(t)^n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{2k+1}\cos(t)^{n-2k-1}\sin(t)^{2k}.
$$ Pensez-vous que cela est juste ?
Si oui je ne vois pas comment faire apparaître cotan car je n'ai pas de quotient

YvesM · February 2018

Bonjour,

Essaie déjà avec $n=0,1,2$ pour voir comment le truc s’arrange. La généralisation sera plus facile. Si on t’aide encore on fait l’exercice à ta place : ce n’est que du calcul.

gb · February 2018

zewubezew a écrit:

$$\frac{sin(nt)}{sin(t)^n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{2k+1}cos(t)^{n-2k-1}sin(t)^{2k}$$

C'est curieux, il y a un dénominateur au premier membre, mais pas au second membre…

zorg69 · February 2018

Ne pas oublier de prouver au passage que si ce polynôme existe, il est unique.

edit: j'avais lu trop vite , on demande aussi de prouver que ce polynôme est unique

Et il me semble que ça a été l'objet d'une question au capes voilà quelques années