équation à variables séparées
Bonjour,
j'ai le problème de Cauchy suivant : $$
\begin{cases}
yy'+(1+y^2) \sin x = 0\\
y(0)=1
\end{cases}
$$ J'ai montré que ce problème admet une solution unique. Mon problème est que pour calculer la solution, on doit être sûre que $y$ ne s'annule pas afin d'écrire la formulation implicite $\dfrac{y}{1+y^2} y'= - \sin x$ car c'est une équation à variables séparée.
Ma question est comment montrer que la solution ne s'annule jamais ?
Je lis la solution suivante: $y(x)=0$ est équivalent à $\sin x =0$ qui implique que $x=0$ mais au point $x=0$ on a $y(0)=1 \neq 0$ donc $y \neq 0$. Mais je trouve cette solution louche, je ne la comprends pas.
Merci par avance pour l'aide.
j'ai le problème de Cauchy suivant : $$
\begin{cases}
yy'+(1+y^2) \sin x = 0\\
y(0)=1
\end{cases}
$$ J'ai montré que ce problème admet une solution unique. Mon problème est que pour calculer la solution, on doit être sûre que $y$ ne s'annule pas afin d'écrire la formulation implicite $\dfrac{y}{1+y^2} y'= - \sin x$ car c'est une équation à variables séparée.
Ma question est comment montrer que la solution ne s'annule jamais ?
Je lis la solution suivante: $y(x)=0$ est équivalent à $\sin x =0$ qui implique que $x=0$ mais au point $x=0$ on a $y(0)=1 \neq 0$ donc $y \neq 0$. Mais je trouve cette solution louche, je ne la comprends pas.
Merci par avance pour l'aide.
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Réponses
Je suis vieux jeu ; je multiplie donc l'équation par 2 et je pose : \(z=1+y^2\), d'où:
\[\begin{cases} z'+2z\sin x=0 \\ z(0) = 2 \end{cases}\]
magnifique problème de Cauchy linéaire dont je sais calculer l'unique solution z.
J'en déduis la solution du problème initial, dont l'intervalle de définition \(I\) est déterminé par les conditions :
\begin{align} \forall x\in I \quad z(x) &\geqslant 1 & 0\in I \end{align}
\[\frac{yy'}{1+y^2} y'= - \sin x\]
parce que, dans tous les cas (même si \(y\) est la fonction nulle), \(1+y^2\) a beaucoup de mal à s'annuler.
Je croyais que le problème de l'existence et de l'unicité était réglé, et que la question était de résoudre l'équation.
Si tu veux utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz : tu dois écrire l'équation sous la forme \(y'=f(x,y)\), ce qui t'impose effectivement de définir \(f\) par ; \(f(x,y) = - \dfrac{(1+y^2)\sin x}{y}\) et donc de travailler sur l'ouvert :
\
Par chance, la condition \((0,y(0))\) de ton problème de Cauchy appartient à \(U\), tu peux donc conclure…
On a l'impression que tu essaie de résoudre une question sans connaître aucun résultat théorique sur le sujet !!!
$R=\{(x,y): |x-x_0| \leq a,\ |y-y_0| \leq b\}$ alors le problème de Cauchy $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ admet une solution unique sur l'intervalle $|y-y_0| \leq \alpha$ où $\alpha= \min(a,b/m)$ dans le cas où $f$ est $\partial f/\partial y$ sont continues bornées sur $R$
\[R=\lbrace (x,y)\in\mathbf{R}^2 / \lvert x-x_0\rvert \leqslant 2018,\lvert y-y_0\rvert \leqslant 0,2018\rbrace\]
sur lequel \(f\) et \(\partial f/\partial y\) sont continues, donc bornées.
Quand le choix est impossible c'est que la condition initiale proposée n'est pas sympathique.