Méromorphe fermé discret.

CechLM · February 2018

Salut à tous !
Il y a une partie de mon cours que je ne comprends pas bien. Je n'arrive pas à montrer que ces deux ensembles sont fermés discrets. 73144

CechLM · February 2018

Pour le deuxième P j'ai trouvé le début !

$a$ est un pôle de $f$ si et seulement si il existe un $r$ tel que $a$ est un zéro de la fonction holomorphe $\frac{1}{f}$ définie sur $B(a,r)$. Et comme $a$ est un zéro isolé, alors $P$ est discret.
Maintenant $P$ est fermé ? En prenant la fonction ci dessus il s'agît de $\frac{1}{f}^{-1}(\{0\})$

BobbyJoe · February 2018

L'ensemble est fermé car il est localement une union finie de fermés (un ensemble de pôles d'une famille finie de fonctions méromorphes).
Il est discret car une union finie d'ensembles discrets est discret (pour les mêmes raisons)!

CechLM · February 2018

Pardon ?

CechLM · February 2018

Vous pouvez développez s'il vous plaît.

Localement une union finie = union finie sur tout compact ?
Qui est discret car union finie d'ensemble discret ?

BobbyJoe · February 2018

Sans l'hypothèse qu'à partir d'un certain rang, ta famille de fonctions méromorphes est en fait holomorphe sur $\omega,$ ce n'est pas vrai...
Regarde juste $P\cap K$ où $K$ est le choix d'un compact auquel tu appliques la définition...
Plus précisément :
-Prend une suite de points de $P$ qui converge dans $\Omega.$ Très certainement, la limite appartient à un certain compact de $\Omega$ et tu peux conclure.
-Pour le caractère discret, il suffit de montrer que pour tout $K$ compact, $P\cap K$ est fini....

CechLM · March 2018

J'ai montré que P est au plus dénombrable donc il est discret et fermé dans $\mathbb{C}$.

Poirot · March 2018

Penses-tu que $\{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb N^*\} \cup \{0\}$ soit fermé et discret dans $\mathbb C$ ?

CechLM · March 2018

ah ouais.

CechLM · March 2018

Mais là y'a un point d'accumulation.

Méromorphe fermé discret.

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