fonction affine
Bonjour,
je souhaite démontrer avec des outils accessibles à un élève de seconde (sic !) que, si pour tout entier $x$, une fonction $f : \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ est telle que $f(x)=\dfrac{f(x+1)+f(x-1)}{2}$ alors cette fonction $f$ est affine sur $\mathbb{Z}$.
Cela vous semble possible ? Dans ce que je fais, j'ai toujours besoin d'une récurrence...
Une idée ?
Par avance, merci.
je souhaite démontrer avec des outils accessibles à un élève de seconde (sic !) que, si pour tout entier $x$, une fonction $f : \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ est telle que $f(x)=\dfrac{f(x+1)+f(x-1)}{2}$ alors cette fonction $f$ est affine sur $\mathbb{Z}$.
Cela vous semble possible ? Dans ce que je fais, j'ai toujours besoin d'une récurrence...
Une idée ?
Par avance, merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Et tu peux bien sûr cacher tout ça de manière très artificielle en ne mentionnant jamais le terme récurrence, la démonstration restera parfaitement solide (on admet tout de même qu'une partie de $\N$ non vide admet un plus petit élément, on ne part pas de rien évidemment).
On peut l'escamoter dans des points de suspension, bien sûr.
1) montrer que $\forall x \in \mathbb{Z} \quad{}f(x+1)-f(x)=f(x)-f(x-1) \implies \forall x \in \mathbb{Z} \quad{}f(x+1)-f(x)=f(1)-f(0)$
2) montrer que si $x_2=x_1+k$ alors $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f(x_1+1)-f(x_1)=f(1)-f(0)=C^{ste}$ ?
PS. Pourquoi la rubrique "analyse" ?
Alors $A_n$ est le milieu de $[A_{n-1};A_{n+1}]$, et ces trois points sont donc alignés.
Ils sont alignés trois voisins par trois voisins, donc aussi pris tous ensemble : la fonction $f$ est affine.
J'étais borné à vouloir appliquer la caractérisation calculatoire !
Disons que si l'objectif est de convaincre, c'est gagné.
Ce n'est pas un argument, bien entendu. Mais ici, j'y vois un axiome tacite "bah oui on fait ça et ainsi de suite".
D'ailleurs, le principe de récurrence suppose lui-même des axiomes (...de l'existence du plus petit élément...et d'autres ?).
Sinon, on le démontre dans ZF ...
En DEUG 1ère année, à l'UPMC, un peu avant 2000, le discours était le suivant : (si ça se trouve j'ai même un poly quelque part, dans la cave, derrière le Champagne...)
On admet $\mathbb N$ avec Peano.
On démontre par l'absurde le principe de récurrence. (Oui, oui "par l'absurde" qu'ils disaient, mais c'est accessoire).
Quant à savoir dans quel systeme cela était démontré, je ne sais jamais ce qu'il faut dire.
J'imagine que c'était en "logique classique", elle-même présentée avec des tables de vérités, sans trop de prise de tête sémantique.
Pour revenir à la récurrence, cela fait penser à une discussion d'un an environ, ici-même.
Confirme-t-on que "axiome Peano" est équivalent à "axiome récurrence" ? (dans quel sens ?)
En fait j'utilise le résultat suivant, qui se démontre certes par récurrence, mais qui permet d'en court-circuiter beaucoup :
si une suite $(u_n)$ vérifie $u_{n+1} = u_n$, alors $(u_n)$ est constante.
Ici, on applique pour $u_n = $ la droite $(A_{n}A_{n+1})$.
Merci de votre sollicitude bienveillante... Je vous rassure, j'avais bien vu que la récurrence restait nécessaire pour ce raisonnement géométrique. Cependant, elle sera nettement plus naturelle aux élèves qu'en passant par de la lourde analytique, me semble-t-il.
Je ne "cache pas la poussière sous le tapis" : cette manière de "voir" le résultat reste convaincante à ce niveau et nous permet de gagner du temps, ce résultat n'étant qu'une question parmi d'autres du sujet.
Merci à vous tous. Cordialement,
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Maintenant, vu que c'est toi qui expliques aux élèves, si tu es convaincu de l'évidence de l'argument "géométrique" et pas de la "lourde analytique" ci-dessus, il vaut mieux que tu leur serves l'argument "géométrique".
Un exemple de truc que je ne sais pas démontrer juste en partant de cet "axiome des suites constantes" :
La caractérisation des suites croissantes :
Si $v_{n+1} \ge v_n$, alors $(v_n)$ est croissante.
J'insiste bien : je ne suppose pas que $(v_n)$ est à valeur numérique ou quoi, mais dans n'importe quel ensemble ordonné.
Dans $\R$, c'est faisable à partir de l'axiome des suites constantes, car on peut écrire $v_n = \sum_{k=p}^{n-1} (v_{k+1}-v_k) + v_p \ge v_{p}$.
Soit $A$ une partie de $\N$. On définit la suite $(u_n)$ par $u_n=0$ si aucun entier $\leq n$ n'est dans $A$ et $u_n=1$ sinon.
Supposons que $A$ n'a pas de plus petit élément. Alors pour tout entier $n$, $u_{n+1}=u_n$. La suite $(u_n)$ est donc constante et constamment nulle car $u_0=0$. Donc $A$ est vide.
On a toute la force du principe de récurrence.
(Ça a déjà été écrit ailleurs par Christophe).
Eh bah dans ce cas-là, arrêtons d'enseigner les démonstrations par récurrence, et enseignons cette caractérisation des suites constantes à la place.
Du coup, pour mes suites croissantes, il suffit de prendre pour $u_n$ l'indicatrice de "la suite $v$ est croissante jusqu'au rang $n$" ?
C'est quand même plus lisible, non ? (je plaisante, pas taper stp !)
Par contre je ne sais pas qui est Christophe... ?