fonction affine

lafayette
lafayette
dans Analyse
Bonjour,
je souhaite démontrer avec des outils accessibles à un élève de seconde (sic !) que, si pour tout entier $x$, une fonction $f : \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ est telle que $f(x)=\dfrac{f(x+1)+f(x-1)}{2}$ alors cette fonction $f$ est affine sur $\mathbb{Z}$.

Cela vous semble possible ? Dans ce que je fais, j'ai toujours besoin d'une récurrence...
Une idée ?
Par avance, merci.

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    C'est de toute manière possible sans aucun problème de redémontrer le principe de récurrence en seconde, surtout si tu fais semblant de le redémontrer juste dans ton cas particulier. Soit l'ensemble des entiers $n$ qui ne vérifient pas ton hypothèse de récurrence $P(n)$, qu'on suppose non vide. Cet ensemble possède un plus petit élément $m$. $m$ est forcément non nul car $P(0)$ est vraie. Tu peux conclure ensuite à une absurdité en appliquant l'hérédité de ta récurrence.

    Et tu peux bien sûr cacher tout ça de manière très artificielle en ne mentionnant jamais le terme récurrence, la démonstration restera parfaitement solide (on admet tout de même qu'une partie de $\N$ non vide admet un plus petit élément, on ne part pas de rien évidemment).
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La récurrence semble inévitable, c'est dans la nature des entiers !
    On peut l'escamoter dans des points de suspension, bien sûr.
  • lafayette
    lafayette
    Est-ce à dire :
    1) montrer que $\forall x \in \mathbb{Z} \quad{}f(x+1)-f(x)=f(x)-f(x-1) \implies \forall x \in \mathbb{Z} \quad{}f(x+1)-f(x)=f(1)-f(0)$
    2) montrer que si $x_2=x_1+k$ alors $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f(x_1+1)-f(x_1)=f(1)-f(0)=C^{ste}$ ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Quelle est la question ?

    PS. Pourquoi la rubrique "analyse" ?
  • marsup
    marsup
    Pour tout $n \in \Z$, soit $A_n = \binom{f(n)}{n}$ le point du graphe associé.

    Alors $A_n$ est le milieu de $[A_{n-1};A_{n+1}]$, et ces trois points sont donc alignés.

    Ils sont alignés trois voisins par trois voisins, donc aussi pris tous ensemble : la fonction $f$ est affine.
  • lafayette
    lafayette
    Merci, ce raisonnement me plaît bien.
    J'étais borné à vouloir appliquer la caractérisation calculatoire !
  • Chalk
    Chalk
    Il y a pourtant aussi une récurrence dans ce raisonnement me semble-t-il.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ils sont alignés trois voisins par trois voisins, donc aussi pris tous ensemble
    Bel exemple d'escamotage de la récurrence, qui pourtant est bien là.
  • Chalk
    Chalk
    Je suis rassuré que GBZM me confirme ce que je pensais avoir vu ;-) Passer la poussière sous le tapis est une bien mauvaise manière "d'adapter une démonstration" à un certain niveau.
  • Dom
    Dom
    C'est l'expression "de proche en proche", en quelque sorte.

    Disons que si l'objectif est de convaincre, c'est gagné.

    Ce n'est pas un argument, bien entendu. Mais ici, j'y vois un axiome tacite "bah oui on fait ça et ainsi de suite".

    D'ailleurs, le principe de récurrence suppose lui-même des axiomes (...de l'existence du plus petit élément...et d'autres ?).
  • Chalk
    Chalk
    Dom a écrit:
    bah oui on fait ça et ainsi de suite
    C'est le principe même de la récurrence. Si l'objectif est de convaincre, alors une démonstration analytique par récurrence marche aussi, on voit bien que "de proche en proche" ça marche. On n'a rien gagné avec la démonstration géométrique.
  • Dom
    Dom
    Oui, oui, c'est exact.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    D'ailleurs, le principe de récurrence suppose lui-même des axiomes
    C'est un axiome (si on donne une axiomatique de l'arithmétique).
    Sinon, on le démontre dans ZF ...
  • Dom
    Dom
    Ha oui j'ai été torturé jadis.

    En DEUG 1ère année, à l'UPMC, un peu avant 2000, le discours était le suivant : (si ça se trouve j'ai même un poly quelque part, dans la cave, derrière le Champagne...)

    On admet $\mathbb N$ avec Peano.
    On démontre par l'absurde le principe de récurrence. (Oui, oui "par l'absurde" qu'ils disaient, mais c'est accessoire).

    Quant à savoir dans quel systeme cela était démontré, je ne sais jamais ce qu'il faut dire.
    J'imagine que c'était en "logique classique", elle-même présentée avec des tables de vérités, sans trop de prise de tête sémantique.

    Pour revenir à la récurrence, cela fait penser à une discussion d'un an environ, ici-même.
    Confirme-t-on que "axiome Peano" est équivalent à "axiome récurrence" ? (dans quel sens ?)
  • marsup
    marsup
    C'est sympa, j'essaie de donner un coup de main, et je me fais traiter de vilain :-S

    En fait j'utilise le résultat suivant, qui se démontre certes par récurrence, mais qui permet d'en court-circuiter beaucoup :

    si une suite $(u_n)$ vérifie $u_{n+1} = u_n$, alors $(u_n)$ est constante.

    Ici, on applique pour $u_n = $ la droite $(A_{n}A_{n+1})$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je pense qu'il est utile de faire savoir à lafayette que la récurrence est toujours là, même si on l'a caché, non ?
  • lafayette
    lafayette
    GaBuZoMeu
    Merci de votre sollicitude bienveillante... Je vous rassure, j'avais bien vu que la récurrence restait nécessaire pour ce raisonnement géométrique. Cependant, elle sera nettement plus naturelle aux élèves qu'en passant par de la lourde analytique, me semble-t-il.
    Je ne "cache pas la poussière sous le tapis" : cette manière de "voir" le résultat reste convaincante à ce niveau et nous permet de gagner du temps, ce résultat n'étant qu'une question parmi d'autres du sujet.
    Merci à vous tous. Cordialement,

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    En posant $u_n=f(n+1)-f(n)$, l'hypothèse donne immédiatement $u_{n+1}=u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est "évidemment" constante (cette implication contient toute la force du principe de récurrence, ce n'est pas juste un cas particulier). Si $p$ est cette constante, on a "évidemment" $f(n)=f(0)+np$ pour tout $n\in \Z$.
    Maintenant, vu que c'est toi qui expliques aux élèves, si tu es convaincu de l'évidence de l'argument "géométrique" et pas de la "lourde analytique" ci-dessus, il vaut mieux que tu leur serves l'argument "géométrique".
  • marsup
    marsup
    Toute la force, je ne sais pas, mais une bonne partie, ça c'est sûr.

    Un exemple de truc que je ne sais pas démontrer juste en partant de cet "axiome des suites constantes" :

    La caractérisation des suites croissantes :
    Si $v_{n+1} \ge v_n$, alors $(v_n)$ est croissante.

    J'insiste bien : je ne suppose pas que $(v_n)$ est à valeur numérique ou quoi, mais dans n'importe quel ensemble ordonné.

    Dans $\R$, c'est faisable à partir de l'axiome des suites constantes, car on peut écrire $v_n = \sum_{k=p}^{n-1} (v_{k+1}-v_k) + v_p \ge v_{p}$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bien sûr que ça contient toute la force !!!!
    Soit $A$ une partie de $\N$. On définit la suite $(u_n)$ par $u_n=0$ si aucun entier $\leq n$ n'est dans $A$ et $u_n=1$ sinon.
    Supposons que $A$ n'a pas de plus petit élément. Alors pour tout entier $n$, $u_{n+1}=u_n$. La suite $(u_n)$ est donc constante et constamment nulle car $u_0=0$. Donc $A$ est vide.
    On a toute la force du principe de récurrence.
    (Ça a déjà été écrit ailleurs par Christophe).
  • marsup
    marsup
    Ah ouais... (je ne sais pas quoi ajouter, tu m'as vraiment cloué le bec !)

    Eh bah dans ce cas-là, arrêtons d'enseigner les démonstrations par récurrence, et enseignons cette caractérisation des suites constantes à la place.

    Du coup, pour mes suites croissantes, il suffit de prendre pour $u_n$ l'indicatrice de "la suite $v$ est croissante jusqu'au rang $n$" ?

    C'est quand même plus lisible, non ? (je plaisante, pas taper stp :) !)

    Par contre je ne sais pas qui est Christophe... ?
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