Diff $C^{1}$

Avez-vous une idée svp 8-)

Donc si je résume. Je veux montrer que $G$ est [large]G[/large]ateaux-différentiable et sa dérivée et continue donc de $C^{1}.$
Soient $u, v \in W^{1,p}_{0}(\Omega)$ et $0 < \vert t\vert < 1,$ alors par théorème des accroissements finis on a:
$\vert G(u+tv)-G(u)\vert/\vert t\vert =\vert G^{'}(u+t_{0}v)\vert\vert v\vert$
et
\begin{align*}
\vert G^{'}(u+t_{0}v)\vert\vert v\vert &= \int_{\Omega} f(x)\vert u+tv_{0}\vert^{q-2}\vert u+tv_{0}\vert\vert v\vert\ d{x}\\
&\leqslant\int_{\Omega}f(x)\vert u+tv_{0}\vert^{q-2}\vert u+tv_{0}\vert\vert u+tv_{0}\vert\ d{x}\\
&=\int_{\Omega}f(x)\vert u+tv_{0}\vert^{q}\ d{x}.
\end{align*}
\begin{align*}
\vert G^{'}(u+t_{0}v)\vert \vert v\vert &= \int_{\Omega}f(x)\vert u+t_{0}v\vert^{q}\ d{x}\\
& \leqslant\vert\vert f\vert\vert_{\infty}\int_{\Omega}\vert u+t_{0}v\vert^{q}\ d{x}\\
&\leqslant c\vert\vert f\vert\vert_{\infty}\int_{\Omega}\vert u\vert^{q}+\vert v\vert^{q}\ d{x} \\
&\leqslant c\vert\vert f\vert\vert_{\infty}\left(\int_{\Omega}\vert u\vert^{q} \ d{x} +\int_{\Omega}\vert v\vert^{q} \ d{x} \right)\\
&\leqslant c\Vert u\Vert^{q}_{W^{1,p}} + c\Vert v\Vert^{q}_{W^{1,p}}<+\infty\\
\end{align*}
Car $\Omega$ est un ouvert born\'e et $p\leq q$ et $W^{1,p}_{0}(\Omega)$ s'injecte dans $L^{q}(\Omega)$ (d’après les injections de Sobolev)

Reste maintenant à montrer que la $G'(u)$ est continue. En effet,\begin{align*}
\vert <G^{'}(u),v>\vert &= \Big\vert \int_{\Omega} f_{i}(x)\vert u\vert^{q_{i}-2}uv\ d{x}\Big\vert\\
&\leq\Vert f_{i}\Vert_{\infty}\int_{\Omega}\vert u\vert^{q_{i}-1}\vert v\vert\ d{x}\\
&\leq\Vert f\Vert_{\infty}\Vert u\Vert^{q_{i}-1}_{L^{p}}\Vert v\Vert_{L^{p}}
\end{align*}
Fin de la démonstration. Qu'en pensez-vous s'il vous plaît. Merci d avance.

[René Eugène Gateaux (1889-1914) prend toujours une majuscule ! AD]