Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
123 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

3 petits cadeaux.

Envoyé par Dattier 
3 petits cadeaux.
l’an passé
avatar
Salut,

C1 :
une suite de fonctions réels $f_n \in C^2(\mathbb R)$ avec $\exists M>0, \forall n\in \mathbb N, f_n '' \leq M$, et la suite convergent simplement vers $g$.
A-t-on $g$ continue ?

C2 :
une suite de fonctions réels $f_n \in C^1(\mathbb R)$ avec $\exists M>0, \forall n\in \mathbb N, f_n ' \leq M$, et la suite convergent simplement vers $g$.
A-t-on $g$ continue sur $\mathbb{R}-A$ avec $\text{card}(A) \leq \text{card}(\mathbb N)$ ?

C3 :
une suite de fonctions réels $f_n \in C^3(\mathbb R)$ with :

1) $\exists M>0, \forall n\in \mathbb N, f_n''' \leq M$,
2) $\exists N>0, \forall n \in \mathbb N, \max(|f_n'(0)|,|f_n''(0)|)\leq N$
3) convergence simple vers $g$.

A-t-on $g \in C^1(\mathbb R) $ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Dattier.
Re: 3 petits cadeaux.
l’an passé
Bon, je sens qu'on va repartir dans une suite sans fin de modification d'énoncé. La réponse à C1 est visiblement négative, sauf si on prend la peine de mettre des valeurs absolues, et alors c'est du ressort de l'équicontinuité
Re: 3 petits cadeaux.
l’an passé
avatar
Tu es sûr, tu sais on peut tous se tromper, même toi A.E.
Re: 3 petits cadeaux.
l’an passé
« A. E. » comme “almost everywhere” ? Pas très engageant...
Re: 3 petits cadeaux.
l’an passé
avatar
Non, A.E comme Anna E.
MrJ
Re: 3 petits cadeaux.
l’an passé
Pour la première, il me semble que la suite de fonctions définie par $h_n(x)= f_n(x)-Mx^2/2$ est une suite de fonctions concaves convergeant simplement. On en déduit que sa limite $h$ est une fonction continue, puis que $g$ est continue.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par MrJ.
Re: 3 petits cadeaux.
l’an passé
avatar
@MrJ : Bravo
MrJ
Re: 3 petits cadeaux.
l’an passé
Pour le second, je dois faire une erreur, parce que pour moi, la fonction $g$ est continue sur $\R$ en utilisant $h_n(x)= Mx-f_n(x)$ et le second théorème de Dini...



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par MrJ.
Re: 3 petits cadeaux.
l’an passé
avatar
Non, prend fn(x)=arctan(nx) cela tend vers une fonction continue partout sauf en 0.
MrJ
Re: 3 petits cadeaux.
l’an passé
En fait, mon erreur est que le second théorème de Dini ne marche que sur un compact.

En fait il faut savoir que la limite est continue pour pouvoir utiliser le second théorème de Dini...



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par MrJ.
Re: 3 petits cadeaux.
l’an passé
avatar
Il faut aussi que la limite soit continue (pour appliquer Dini)
MrJ
Re: 3 petits cadeaux.
l’an passé
Mon raisonnement marche quand même. Parce que la limite de la suite de fonctions que j’ai introduit est une fonction croissante. Donc son ensemble de discontinuité est dénombrable et il en est de même pour la fonction $g$ du coup.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par MrJ.
Re: 3 petits cadeaux.
l’an passé
avatar
Bravo (la limite simple d'une suite fonctions croissantes est une fonction croissante)



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Dattier.
Re: 3 petits cadeaux.
l’an passé
Bon, je vais prendre mon Humex nuit et me coucher. grinning smiley
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 137 760, Messages: 1 335 526, Utilisateurs: 24 576.
Notre dernier utilisateur inscrit Soro Basile.


Ce forum
Discussions: 30 583, Messages: 282 066.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page