3 petits cadeaux.
Salut,
C1 :
une suite de fonctions réels $f_n \in C^2(\mathbb R)$ avec $\exists M>0, \forall n\in \mathbb N, f_n '' \leq M$, et la suite convergent simplement vers $g$.
A-t-on $g$ continue ?
C2 :
une suite de fonctions réels $f_n \in C^1(\mathbb R)$ avec $\exists M>0, \forall n\in \mathbb N, f_n ' \leq M$, et la suite convergent simplement vers $g$.
A-t-on $g$ continue sur $\mathbb{R}-A$ avec $\text{card}(A) \leq \text{card}(\mathbb N)$ ?
C3 :
une suite de fonctions réels $f_n \in C^3(\mathbb R)$ with :
1) $\exists M>0, \forall n\in \mathbb N, f_n''' \leq M$,
2) $\exists N>0, \forall n \in \mathbb N, \max(|f_n'(0)|,|f_n''(0)|)\leq N$
3) convergence simple vers $g$.
A-t-on $g \in C^1(\mathbb R) $ ?
C1 :
une suite de fonctions réels $f_n \in C^2(\mathbb R)$ avec $\exists M>0, \forall n\in \mathbb N, f_n '' \leq M$, et la suite convergent simplement vers $g$.
A-t-on $g$ continue ?
C2 :
une suite de fonctions réels $f_n \in C^1(\mathbb R)$ avec $\exists M>0, \forall n\in \mathbb N, f_n ' \leq M$, et la suite convergent simplement vers $g$.
A-t-on $g$ continue sur $\mathbb{R}-A$ avec $\text{card}(A) \leq \text{card}(\mathbb N)$ ?
C3 :
une suite de fonctions réels $f_n \in C^3(\mathbb R)$ with :
1) $\exists M>0, \forall n\in \mathbb N, f_n''' \leq M$,
2) $\exists N>0, \forall n \in \mathbb N, \max(|f_n'(0)|,|f_n''(0)|)\leq N$
3) convergence simple vers $g$.
A-t-on $g \in C^1(\mathbb R) $ ?
Réponses
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Bon, je sens qu'on va repartir dans une suite sans fin de modification d'énoncé. La réponse à C1 est visiblement négative, sauf si on prend la peine de mettre des valeurs absolues, et alors c'est du ressort de l'équicontinuité
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Tu es sûr, tu sais on peut tous se tromper, même toi A.E.
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« A. E. » comme “almost everywhere” ? Pas très engageant...
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Non, A.E comme Anna E.
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Pour la première, il me semble que la suite de fonctions définie par $h_n(x)= f_n(x)-Mx^2/2$ est une suite de fonctions concaves convergeant simplement. On en déduit que sa limite $h$ est une fonction continue, puis que $g$ est continue.
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Pour le second, je dois faire une erreur, parce que pour moi, la fonction $g$ est continue sur $\R$ en utilisant $h_n(x)= Mx-f_n(x)$ et le second théorème de Dini...
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Non, prend fn(x)=arctan(nx) cela tend vers une fonction continue partout sauf en 0.
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En fait, mon erreur est que le second théorème de Dini ne marche que sur un compact.
En fait il faut savoir que la limite est continue pour pouvoir utiliser le second théorème de Dini... -
Il faut aussi que la limite soit continue (pour appliquer Dini)
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Mon raisonnement marche quand même. Parce que la limite de la suite de fonctions que j’ai introduit est une fonction croissante. Donc son ensemble de discontinuité est dénombrable et il en est de même pour la fonction $g$ du coup.
-
Bravo (la limite simple d'une suite fonctions croissantes est une fonction croissante)
-
Bon, je vais prendre mon Humex nuit et me coucher. :-D
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Bonjour!
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