Définition de la racine carrée
Bonjour à toutes et à tous,
J'ai un peu honte de m'en être aperçu si tard, mais je ne sais pas expliquer ce résultat :
$$ 1^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1 ~~~~~~~~~~~~~~ (e^{2i\pi })^{\frac{1}{2}}=-1$$
Cela doit être une question de définition de la racine carrée, mais je ne saurais absolument pas l'écrire proprement... pouvez-vous m'aider svp?
Merci !
J'ai un peu honte de m'en être aperçu si tard, mais je ne sais pas expliquer ce résultat :
$$ 1^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1 ~~~~~~~~~~~~~~ (e^{2i\pi })^{\frac{1}{2}}=-1$$
Cela doit être une question de définition de la racine carrée, mais je ne saurais absolument pas l'écrire proprement... pouvez-vous m'aider svp?
Merci !
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Réponses
On connaît la définition de la racine carrée d'un réel positif, quelle est ta définition de la racine carrée pour d'autres nombres ?
Pour ta deuxième formule, tu triches. Tu as réécrit $(1)^{\frac 1 2}$, mais tu n'applique pas de calcul, tu écris que ça vaut -1.
Il y a un faux calcul qui donne -1, c'est l'application de la formule $(a^b)^c=a^{bc}$ en dehors de son champ d'application. Si c'est ce que tu voulais dire, il fallait l'écrire. Mais comme c'est un calcul faux, ça n'a pas d'intérêt, ni besoin d'explication.
Cordialement.
Alors quel est le champ d'application de la formule $(a^b)^c=a^{bc}$?
$$ (e^{2i\pi })^{\frac{1}{2}}= cos (\pi) + i*sin(\pi) = -1 + 0*i =-1
$$
est vraie dès que $a \in X$ avec des propriétés multiplicatives raisonnables (comme notamment n'importe quel corps : en particulier, ici : $\R$, ou bien $\C$)
pour $a,b \in \N$ (entiers)
@marsup : "avec $a$ et $b$ entiers" . Voulais-tu plutôt dire avec $b$ et $c$ entiers?
Donc en fait, toutes les formule du style :
$$ a^x=e^{xln(a)}~~ (a>0) ~~~~~~~ 2^i=e^{iln(2)} etc...$$
sont... fausses?
Bon pour la sophistique ensuite, c'est pas très intéressant, je trouve.
Je te dis 2+2=4, tu me réponds "ah donc tu dis que 3+3=6 est faux ?!"
Que veux-tu que je te dise ? Si tu as envie de te battre sans raison, fréquente plutôt la sortie des bistrots...
Bon pour 2^i, en tous cas, ça ne me semble pas relever d'une convention universelle.
"Je te dis 2+2=4, tu me réponds "ah donc tu dis que 3+3=6 est faux ?!"" Euh... non.
On me dit $(a^b)^c=a^{bc}$ ca marche avec $b$ et $c$ entiers, mais pas avec $b$ imaginaire et $c$ rationnel donc qu'est-ce que je dois supposer pour tirer une conclusion? Que cela ne marche que pour les entiers ? Si c'est le cas alors la formule $a^x=e^{xln(a)}$ est fausse ($a$ est encore positif). Sinon, c'est qu'il y a un problème avec les imaginaires. Du coup lequel?
Bref, je cherche juste des réponses à mes questions
Pour $z$ complexe, peux-tu nous donner une définition de $\sqrt{z}$ ou de $z^{\frac{1}{2}}$.
Ensuite on pourra discuter.
Cordialement.
La formule $(a^b)^c=a^{bc}$ est valide pour a, b et c réels avec a>0. Elle était valide pour a=0 et b et c entiers strictement positifs, et pour a<0 et b et c entiers. Elle est valide pour a réel strictement positif (en général, on se contente de a=e), b complexe et n entier.
Pour ma part, je ne connais pas d'extension de ces domaines qui ne risquent pas de poser des problèmes lorsqu'on calcule "par habitude".
Sauf oubli dû à mon âge.
Cordialement.
On devrait avoir, pour $\theta\in\R$
$\big(e^{i\theta}\big)^i = e^{i^2\theta} = e^{-\theta}$
Du coup $z^i$ contiendrait plus d'informations sur $z$ (son argument modulo rien !) que $z$ lui-même !
Par exemple :
avec $\theta = 0$, on trouve $1^i = 1$ ("normal")
avec $\theta = 2\pi$, on trouve $1^i = e^{-2\pi}$
et comment les deux peuvent-ils être égaux ?
et à chaque fois qu'on fait un tour de l'origine, la puissance change encore !
Bon, tout ça pour dire, attention à ne pas se laisser endormir par les notations.
On risque alors de passer à côté de phénomènes auxquels on n'est pas préparé, et de dire des bêtises.
Mieux vaut garder son sens critique et savoir revenir aux définitions.
Tout se passe bien pour les puissances entières car il n'y a pas d'ambigüité, mais pour le reste, attention au bord ;-)
Simplement, je n'aime pas trop cette manière de faire de tracer une ligne dans le sable pour définir une "détermination principale" de l'argument et donc du logarithme.
Je trouve qu'il vaut beaucoup mieux accepter l'idée que l'argument à valeur dans le cercle trigo $\R\pmod {2\pi}$,
et donc que le logarithme est une application bien définie, mais à valeurs dans le cylindre
$\C^* \to \R \times \R\pmod {2\pi}$.
Je trouve que définir par convention arbitraire une détermination, c'est vraiment vouloir faire entrer des carrés dans des ronds, et je trouve qu'il vaut mieux laisser ce genre d'indélicatesse aux collègues qui utilisent les mathématiques comme outil.
Énonçons simplement qu'il n'en existe pas de détermination continue sur $\C^*$, et qu'il en existe sur $\C$ privé d'une demi-droite passant par l'origine.
Du coup, si j'essaye de synthétiser, lorsque l'on élève à une puissance fractionnaire un nombre complexe (voire même un réel négatif), on utilise indirectement le logarithme complexe avec lequel il faut beaucoup de prudence. C'est çà?
Je dirais même, plus précisément, pour l'exemple de la racine carrée.
Tout complexe $z\neq 0$ admet deux racines carrées $z_1,z_2$, qui sont opposées, et on ne peut pas privilégier uniformément sur $\C*$ l'une des deux continûment.
On peut définir une fonction racine carrée continue sur $\C*$, mais elle n'est pas à valeurs dans $\C$, mais dans un quotient $\C* / \sim$.
La relation d'équivalence $\sim$ est donnée par $u_1 \sim u_2 \Longleftrightarrow u_1 = \pm u_2$.
La "vraie" racine carrée d'un complexe $z\neq 0$ est donc l'ensemble $\{z_1,z_2\}$ des deux racines carrées opposées de ce complexe.
Contrairement à ce qui se passe sur $\R$, cette "vraie" fonction racine carrée ne correspond à aucune fonction continue $\C* \to \C*$.
En revanche, on peut bricoler de deux manières :
- En enlevant une demi-droite réelle à $\C$
- En acceptant d'avoir une racine carrée complexe qui ne soit pas continue.
Mais dans les deux cas, la convention choisie n'engagera (à mon avis) que son auteur, qui devra en subir toutes les inévitables bizarreries qui se présenteront.
> Rappel de ce qui s'enseigne en lycée :
> La formule $(a^b)^c=a^{bc}$ est valide pour a, b et c réels avec a>0
Non, tu donnes un rappel de ce qui s'enseignait au lycée : la puissance réelle d'un réel positif n'est plus au programme depuis la dernière réforme des années 2010.