Bonjour, auriez-vous une idée pour calculer la primitive de $\quad\Big(\dfrac{1}{t^2-1}\Big)^{1/2},\ $ pour $t>1$. J'ai pensé à un changement de variable par $t=\tan x$ mais ça n'amène à rien ...
J'ai procédé par le changement de variable mais je n'arrive pas à calculer la primitive de $\dfrac{1}{\sinh(x)}.$ Je sais que c'est $\ln(|\tanh(x)|)$ mais comment le montrer ?
J'ai pensé à un changement de variable par $t=\tan x$ mais ça n'amène à rien ...
Ce changement est fait pour arranger la somme \(1+t^2\) ; avec une différence, comme dans le cas présent, il faut jouer sur \(1-\cos^2x\).
Le changement de variable convenable en trigonométrie circulaire est : \(t = \frac{1}{\cos x}\).
Réponses
Réécrit $\frac 1 {\sqrt{t^2-1}}$ c'est la dérivée d'une fonction connue. Si tu ne vois pas, tu peux poser x=ch(t) pour faire "disparaître" le carré.
Cordialement.
On cherche UNE ou DES primitives, mais pas LA primitive!
Essaie $t=Ch(x)$
Désolée, très en retard!
Ce changement est fait pour arranger la somme \(1+t^2\) ; avec une différence, comme dans le cas présent, il faut jouer sur \(1-\cos^2x\).
Le changement de variable convenable en trigonométrie circulaire est : \(t = \frac{1}{\cos x}\).
Tu ne lis donc pas les messages qui te sont adressés ?
Bien sûr, et elle fournit le sympathique résultat :
\begin{align}
\int \frac{2e^x}{e^{2x}-1}dx &= \int \frac{2}{u^2-1} du & u=e^x \\
&= \int \left(\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1} \right) du \\
&= \ln \left\lvert \frac{u-1}{u+1} \right\rvert \\
&= \ln \left\lvert \frac{e^x-1}{e^x+1} \right\rvert \pmod{\text{cte}}
\end{align}