Fonction identiquement nulle

aymen · March 2018

Bonjour,
Merci de m'aider à montrer l'implication suivante.

Soit $h \in C([0,1]) $ tel que $\int_{0}^{1} h(x)e^{mx} dx = 0$ for pour tout $m\in\{ 0,1,2,3,\ldots\}$ alors $h(x) =0$ pour tout $x\in[0,1]$.

Magnéthorax · March 2018

Bonjour,

tu connais le théorème qui dit que si $f$ est continue sur $[0,1]$ et si $\int_0^1 f(t) t^n dt=0$ pour tout entier naturel $n$ alors $f$ est nulle ? Si non, tu peux le démontrer grâce au théorème de Weierstrass sur la densité des polynômes dans $C([0,1])$.

aymen · March 2018

Oui je le connais et c'est quoi la relation entre les deux ?

Je sais que $e^{mx}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(mx)^k}{k!}$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ mais comment puis-je continuer ?

Poirot · March 2018

$x \mapsto \rm{e}^x$ et $x \mapsto x$, même combat (en réfléchissant un peu).

P. · March 2018

Tu appliques Stone Weirstrass a la fonction $h_1(u)=h(\log u)/u$ sur l'intervalle $[1,e]$ car $$\int_1^eh_1(u)u^{n}du=0.$$

Poirot · March 2018

@P. : tu aurais pu laisser aymen réfléchir un peu, il n'y a qu'un pas une fois que l'on connaît le résultat avec les monômes.

aymen · March 2018

ça donne $h(log(u))=0$ pour tout $u\in[1,e]$ et pourquoi $h(x)=0$ pour tout $u\in[0,1]$?

Poirot · March 2018

Que parcourt $\log u$ quand $u$ parcourt $[1, \rm{e}]$ ?

Chalk · March 2018

Ce qui est bizarre, c'est que si tu as su démontrer le "car" dans le message de P., tu n'es pas censé bloquer sur ta dernière question, vu que l'idée reste la même.

Fonction identiquement nulle

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