Apparition du chaos dans la suite logistique
dans Analyse
Bonsoir à tous,
Je suis cette année en 2ème année de classes préparatoires et nous travaillons dans le cadre de notre TIPE sur les méthodes qui pourraient exister pour "prédire" les comportements des systèmes chaotiques. Ma partie porte sur la suite logistique mais je bloque sur quelque chose que je n'arrive pas à résoudre et je ne trouve rien sur internet qui pourrait m'aider.
En fait j'essaye de trouver la valeur du facteur de croissance (mu) pour laquelle la suite devient pour la première fois chaotique. J'ai déjà réussi à en faire une approximation à 10^-6 près (autour de 3.57) avec l'expression de la constante de Feigenbaum mais impossible de trouver une méthode qui me permettrait de trouver sa valeur exacte.
Est-ce que quelqu'un de renseigné sur la suite logistique pourrait m'aiguiller sur la méthode à adopter pour cela SVP ?
Merci :-):
Je suis cette année en 2ème année de classes préparatoires et nous travaillons dans le cadre de notre TIPE sur les méthodes qui pourraient exister pour "prédire" les comportements des systèmes chaotiques. Ma partie porte sur la suite logistique mais je bloque sur quelque chose que je n'arrive pas à résoudre et je ne trouve rien sur internet qui pourrait m'aider.
En fait j'essaye de trouver la valeur du facteur de croissance (mu) pour laquelle la suite devient pour la première fois chaotique. J'ai déjà réussi à en faire une approximation à 10^-6 près (autour de 3.57) avec l'expression de la constante de Feigenbaum mais impossible de trouver une méthode qui me permettrait de trouver sa valeur exacte.
Est-ce que quelqu'un de renseigné sur la suite logistique pourrait m'aiguiller sur la méthode à adopter pour cela SVP ?
Merci :-):
Réponses
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J'ai tapé chez google :
"numerical logistic map"
Je suis tombé sur deux pdf qui traitent la question
premier
deuxième
Le moteur de recherche nous suggère la requète "period doubling bifurcation example"
L'un des pdf nous suggère la lecture du chapitre 10 du livre
Nonlinear dynamics and chaos de Steven Strogatz
dont on trouve sans difficulté en ligne un pdf piraté.
On y apprend qu'il faut chercher les valeurs $r_n$ pour lesquelles la dynamique admet pour la première fois une orbite de longueur $2^n$.
La limite de $r_n$ quand $n\to\infty$ est la constante qui t'intéresse.
On peut déterminer numériquement $r_1$ en calculant la composée $f \circ f$, et en cherchant pour quelle valeur de $r$ elle admet 2 points fixes de plus que $f$.
Idem pour les $r_n$ suivants.
--
PS, on n'est pas le 5 mars ? Belle saison pour commencer son TIPE... -
Voici quelques articles publiés dans les revues de la MAA sur ce fameux diagramme.
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