égalité bizarre

Bonsoir,
On travaille dans un espace pré-hilbertien $E$ et $\| \cdot\|$ la norme associée au produit scalaire.
On suppose que $\|x+y\| = \|x\|+\|y\|$ et je veux montrer que $|<x,y>| = \|x\|\,\|y\|$.

J'ai réussi à montrer cela mais en cours de route j'ai trouvé quelque chose bizarre.
$||x-y|| =||x+(-y)||= ||x||+||-y|| $ donc $||x-y||^2 = ||x||^2+||-y||^2+2 ||x||\,||-y|| = ||x||^2+||y||^2+2 ||x||\,||y||= ||x+y||^2 $
Or $||x-y||^2 = ||x||^2+||y||^2 - 2 Re <x,y>$ et $||x+y||^2 = ||x||^2+||-y||^2 + 2 Re <x,y>$
$||x+y||^2 = ||x||^2+||y||^2 + 2 Re <x,y>\, = ||x-y||^2 = ||x||^2+||y||^2 - 2 Re <x,y>$
On a donc $Re<x,y>\, = - Re <x,y>$. ie $Re<x,y>\, =0$
Je ne trouve pas l'erreur dans ce qui précède
Merci