Équation différentielle
Bonjour,
Voici la définition d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1:
Soit $F$ un $K-ev$ de dimension $n>0$, $a$ une application continue de $I$ dans $L(F)$ l'ensemble des endomorphismes de $F$, $b$ une application continue de $I$ dans $F$
On appelle équation différentielle linéaire d'ordre 1 l'écriture :
$x'=a(t)x+b(t)$
Ce que je ne comprends pas c'est la fonction a, d'un coté elle a pour image un endomorphisme et je vois pas l’intérêt, et d'un autre a(t) est censé être une fonction qu'on multiplie par une éventuelle fonction, cette multiplication est quel loi et dans quel espace ? Parce que si c'est la multiplication qu'on connais, il faut qu'elle soit à valeur dans $K$
Voici la définition d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1:
Soit $F$ un $K-ev$ de dimension $n>0$, $a$ une application continue de $I$ dans $L(F)$ l'ensemble des endomorphismes de $F$, $b$ une application continue de $I$ dans $F$
On appelle équation différentielle linéaire d'ordre 1 l'écriture :
$x'=a(t)x+b(t)$
Ce que je ne comprends pas c'est la fonction a, d'un coté elle a pour image un endomorphisme et je vois pas l’intérêt, et d'un autre a(t) est censé être une fonction qu'on multiplie par une éventuelle fonction, cette multiplication est quel loi et dans quel espace ? Parce que si c'est la multiplication qu'on connais, il faut qu'elle soit à valeur dans $K$
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Réponses
L'écriture : \(x'=a(t)x+b(t)\) est « trompeuse ».
Une solution de l'équation est une « fonction vectorielle » \(x\), définie sur l'intervalle \(I\), et qui satisfait :
\[\forall t\in I \qquad x'(t)=a(t)x(t)+b(t),\]
où la dernière égalité vaut dans l'espace vectoriel \(F\) :
— \(x'(t)\), \(x(t)\) et \(b(t)\) sont des éléments de \(F\) ;
— \(a(t)\) est un élément de \(L(F)\), que l'on évalue sur le vecteur \(x(t)\), évaluation qui fournit un élément de \(F\) noté \(a(t)x(t)\), que l'on devrait peut-être bien noter \(a(t)(x(t))\), mais il est d'usage de noter \(Ax\) l'évaluation d'une application linéaire \(A\) sur un vecteur \(x\).
\[\underbrace{\begin{pmatrix}x_1'(t)\\x_2'(t)\end{pmatrix}}_{x'(t)} =
\underbrace{\begin{pmatrix}a_{1,1}(t)&a_{1,2}(t)\\a_{2,1}(t)&a_{2,2}(t)\end{pmatrix}}_{a(t)}
\underbrace{\begin{pmatrix}x_1'(t)\\x_2(t)\end{pmatrix}}_{x(t)} +
\underbrace{\begin{pmatrix}b_1(t)\\b_2(t)\end{pmatrix}}_{b(t)}\]
Ici \(F\) est l'espace vectoriel \(\C\) et \(b\) est l'application nulle.
Si tu vois \(F\) en tant que \(\C\)-espace vectoriel, alors, pour tout \(t\), \(a(t)\) est l'homothétie de rapport \(2t+i\).
Si tu vois \(F\) en tant que \(\R\)-espace vectoriel, alors, pour tout \(t\), \(a(t)\) est la similitude directe de rapport \(\sqrt 5\) et d'angle \(\arg(2t+i)\).