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Série complexe

Envoyé par Rob42 
Série complexe
il y a deux années
Bonjour à tous
Pouvez-vous me donner la méthode pour déterminer le rayon de convergence de cette série.

Série des 1/n*(sin(z))^n

Je pensais procéder comme avec une série entière mais ça ne fonctionne pas.
Merci d’avance pour votre aide.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Série complexe
il y a deux années
Je ne sais pas ce qu'est le rayon de convergence d'autre chose que d'une série entière.
gb
Re: Série complexe
il y a deux années
avatar
Bonjour,

1. Ce n'est pas une série entière : il n'y a pas de rayon de convergence.
2. Faut-il lire \(\frac{1}{n\sin^nz}\) ou \(\frac{1}{n}\sin^nz\) ?
Re: Série complexe
il y a deux années
avatar
Que faut-il lire $\frac{1}{n*(\sin{z})^n}$ ou $\frac{1}{n}*(\sin{z})^n$ ??
Re: Série complexe
il y a deux années
Exercice :

Pour quelles valeurs de $z\in\C$ a-t-on $|\sin(z)| < 1$ ?
(on demande juste la composante connexe de $0$, mais ça ne change rien !)
Re: Série complexe
il y a deux années
Bonsoir merci de prendre le temps de répondre à mon problème:

Il faut lire $\frac{1}{n}*(\sin{z})^n$

Plus précisément la question est de trouver le domaine sur lequel cette série converge
Re: Série complexe
il y a deux années
Posons $u=\sin(z)$.

Même question...
Re: Série complexe
il y a deux années
Donc en posant u=sin(z), je dérive ma série et j’obtiens alors la série entière des u puissance n. Le rayon de cv est donc de 1.
Il faut donc que le module de sin(z) soit plus petit que 1.

Mais ensuite comment conclure? Merci
Re: Série complexe
il y a deux années
bonsoir

il faut z différent de $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$

sinon on tombe sur la série harmonique divergente

dans le cas général la série converge vers $$- ln(1- sinz)$$

on a reconnu sur le champ des complexes le développement en série de cette fonction

cordialement
Re: Série complexe
il y a deux années
Oui ça j’ai bien compris que si z=$\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ il y a divergence

dans le cas général la série converge vers ln(1- sinz) ?? Seulement dans le cas où le module de sin(z) est plus petit que 1 non ?

Merci
gb
Re: Série complexe
il y a deux années
avatar
En regardant de plus près la convergence de la série \(\sum (u^n/n)\), on voit que la série proposée converge si, et seulement si : \(\lvert\sin z\rvert\leqslant1\) et \(\sin z\neq1\).
En développant \(\sin(x+iy)\), on peut facilement décrire l'ensemble des nombres complexes \(z\) tels que : \(\lvert\sin z\rvert\leqslant1\).
Re: Série complexe
il y a deux années
Pouvez vous me dire comment résoudre |sin(z)| <1 ? Merci
gb
Re: Série complexe
il y a deux années
avatar
Il suffit de développer \(sin(x+iy)\) pour calculer ses parties réelles et imaginaires, puis son module.
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