Donc en posant u=sin(z), je dérive ma série et j’obtiens alors la série entière des u puissance n. Le rayon de cv est donc de 1.
Il faut donc que le module de sin(z) soit plus petit que 1.
En regardant de plus près la convergence de la série \(\sum (u^n/n)\), on voit que la série proposée converge si, et seulement si : \(\lvert\sin z\rvert\leqslant1\) et \(\sin z\neq1\).
En développant \(\sin(x+iy)\), on peut facilement décrire l'ensemble des nombres complexes \(z\) tels que : \(\lvert\sin z\rvert\leqslant1\).
Réponses
1. Ce n'est pas une série entière : il n'y a pas de rayon de convergence.
2. Faut-il lire \(\frac{1}{n\sin^nz}\) ou \(\frac{1}{n}\sin^nz\) ?
Pour quelles valeurs de $z\in\C$ a-t-on $|\sin(z)| < 1$ ?
(on demande juste la composante connexe de $0$, mais ça ne change rien !)
Il faut lire $\frac{1}{n}*(\sin{z})^n$
Plus précisément la question est de trouver le domaine sur lequel cette série converge
Même question...
Il faut donc que le module de sin(z) soit plus petit que 1.
Mais ensuite comment conclure? Merci
il faut z différent de $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$
sinon on tombe sur la série harmonique divergente
dans le cas général la série converge vers $$- ln(1- sinz)$$
on a reconnu sur le champ des complexes le développement en série de cette fonction
cordialement
dans le cas général la série converge vers ln(1- sinz) ?? Seulement dans le cas où le module de sin(z) est plus petit que 1 non ?
Merci
En développant \(\sin(x+iy)\), on peut facilement décrire l'ensemble des nombres complexes \(z\) tels que : \(\lvert\sin z\rvert\leqslant1\).