Série complexe

Rob42 · March 2018

Bonjour à tous
Pouvez-vous me donner la méthode pour déterminer le rayon de convergence de cette série.

Série des 1/n*(sin(z))^n

Je pensais procéder comme avec une série entière mais ça ne fonctionne pas.
Merci d’avance pour votre aide.

marsup · March 2018

Je ne sais pas ce qu'est le rayon de convergence d'autre chose que d'une série entière.

gb · March 2018

Bonjour,

1. Ce n'est pas une série entière : il n'y a pas de rayon de convergence.
2. Faut-il lire $\frac{1}{n\sin^nz}$ ou $\frac{1}{n}\sin^nz$ ?

rémi · March 2018

Que faut-il lire $\frac{1}{n*(\sin{z})^n}$ ou $\frac{1}{n}*(\sin{z})^n$ ??

marsup · March 2018

Exercice :

Pour quelles valeurs de $z\in\C$ a-t-on $|\sin(z)| < 1$ ?
(on demande juste la composante connexe de $0$, mais ça ne change rien !)

Rob42 · March 2018

Bonsoir merci de prendre le temps de répondre à mon problème:

Il faut lire $\frac{1}{n}*(\sin{z})^n$

Plus précisément la question est de trouver le domaine sur lequel cette série converge

marsup · March 2018

Posons $u=\sin(z)$.

Même question...

Rob42 · March 2018

Donc en posant u=sin(z), je dérive ma série et j’obtiens alors la série entière des u puissance n. Le rayon de cv est donc de 1.
Il faut donc que le module de sin(z) soit plus petit que 1.

Mais ensuite comment conclure? Merci

jean lismonde · March 2018

bonsoir

il faut z différent de $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$

sinon on tombe sur la série harmonique divergente

dans le cas général la série converge vers $$- ln(1- sinz)$$

on a reconnu sur le champ des complexes le développement en série de cette fonction

cordialement

Rob42 · March 2018

Oui ça j’ai bien compris que si z=$\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ il y a divergence

dans le cas général la série converge vers ln(1- sinz) ?? Seulement dans le cas où le module de sin(z) est plus petit que 1 non ?

Merci

gb · March 2018

En regardant de plus près la convergence de la série $\sum (u^n/n)$, on voit que la série proposée converge si, et seulement si : $\lvert\sin z\rvert\leqslant1$ et $\sin z\neq1$.
En développant $\sin(x+iy)$, on peut facilement décrire l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que : $\lvert\sin z\rvert\leqslant1$.