somme infinie

bila
bila
dans Analyse
Bonjour,
Je cherche à mieux comprendre ces deux passages.
Pour la première il remplace $ \sum\limits_{k=0}^{\infty} $ par $\lim\limits_{N\to \infty} \sum\limits_{k=0}^{N}$ non ?
Pour la deuxième je fais permutation intégrale somme mais après faire le calcul je ne peux pas faire la majoration.73548

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    Je ne comprends pas de quels passages tu parles (les limites de vouloir joindre des images au lieu d'écrire simplement en latex le problème ...), mais $\sum_{k=0}^\infty$ est par définition une simple notation pour dire $\lim_{N \to \infty} \sum_{k=0}^N$.
  • bila
    bila
    Soit la fonction $f$ :
    $ f(t) = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^{2}} \sin(\frac{t}{2k+1}) $
    Pour tout $ \epsilon > 0 $ , il existe $ N \in \mathbb{N}$ tel que
    $ \dfrac{1}{T} \int^{T}_{0} f(s) ds \leqslant \dfrac{1}{T} \int^{T}_{0} ( \sum \limits _{k=0} ^ {N} \dfrac{1}{(2k+1)^{2}} \sin(\dfrac{s}{2k+1}) + \epsilon ) ds $
    $
    \leqslant\dfrac{1}{T} \sum \limits _{k=0} ^ {N} \frac{1}{(2k+1)} + \epsilon $
    Ma question est : est-ce que la première inégalité est par définition de la limite ?
    Et la deuxième je n'ai pas réussi à faire la majoration
  • Chalk
    Chalk
    Pour ta première inégalité, ça ne vient pas de la définition de la limite simple, ça vient de la convergence uniforme de la série. Mais comme tu n'es pas convaincu tu dois le démontrer.

    Pour la deuxième inégalité, c'est une simple interversion somme finie / intégrale, suivi d'une majoration très brutale.
  • Math Coss
    Math Coss
    Oui, c'est bien en exploitant le fait que la somme infinie est une limite. Plus précisément, fixons $\varepsilon>0$. Grâce à la convergence normale de la série de fonctions, que je note $\sum b_k$ et dont le terme général est majoré par $1/(2k+1)^2$, on peut trouver $N$ tel que pour tout $s$, $f(s)-\sum_{k=0}^Nb_k(s)+\varepsilon$ (et on pourrait minorer par $-\varepsilon$).

    Dans la dernière ligne, je mettrais volontiers $\dfrac{2}{2k+1}$ plutôt que $\dfrac{1}{2k+1}$ pour pouvoir majorer $1-\cos\dfrac{t}{2k+1}$ par $2$.
  • Chalk
    Chalk
    Tu as raison pour la deuxième inégalité, je n'ai pas obtenu le facteur $1$.
  • bila
    bila
    Merci c'est clair maintenant
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