Équation différentielle d'ordre 2

gebrane
gebrane
dans Analyse
Bonjour,

Un ami qui fait de la physique a sollicité mon aide pour résoudre cette équation différentielle sur $\R$
$$y''(t)-y(t)=tH(t-2), y(0)=1, y'(0)=0$$ où H est la fonction de Heaviside
C'est une équation diff. linéaire à coefficients constants.


*Je ne sais pas si la meilleure façon c'est de résoudre le problème sur $]2,+\infty[$ et $]-\infty, 2[$ puis procéder par recollement
**Avec les transformées de Laplace (unilatérale), je sais résoudre cette équation sur $[0,+\infty[$

***Quelle est votre méthode pour résoudre ce genre d’équation à la main https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''(t)-y(t)=t+HeavisideTheta[t-2],+y(0)=1,+y'(0)=0

Bonne journée
Le 😄 Farceur


Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Salut gebrane.

    Résoudre sur $]- \infty, 2[$ puis sur $]2, +\infty[$ puis ajuster les constantes me semble de loin le plus simple !
  • gerard0
    gerard0
    De plus, pour le cas $t\ge 2$, on est amené à résoudre "l'équation sans second membre" qui est le cas x<2.
    Cordialement.
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour,

    Oui, le mieux est de chercher directement une solution particulière par variation des constantes (le calcul intégrale se fait par parties)

    Merci
    Le 😄 Farceur


  • gb
    gb
    gebrane a écrit:
    le mieux est de chercher directement une solution particulière par variation des constantes

    Avec un second membre aussi simple, on lit directement une solution particulière sur l'équation.
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour gb

    Je peux savoir ta vision des choses?
    Le 😄 Farceur


  • gb
    gb
    Sur tout intervalle, les solutions de \(y''-y=0\) sont les fonctions \(ae^t+be^{-tx}\) où \((a,b)\) est un quelconque couple de nombres réels.
    Sur tout intervalle, les solutions de \(y''-y=t\) sont les fonctions \(ae^t+be^{-t}-t\) où \((a,b)\) est un quelconque couple de nombres réels.
  • gebrane
    gebrane
    Comment tu déduis une solution particulière définie sur $\R$ de $y''-y=tH(t-2)$
    Le 😄 Farceur


  • gerard0
    gerard0
    Poirot l'a déjà dit.
  • gb
    gb
    Je ne cherche pas directement la solution sur \(\R\) de l'équation proposée.

    Vu les conditions initiales, la solution est \(\frac12(e^t+e^{-t})\) sur \(]-\infty,2]\).
    Puis sur \([2,+\infty[\), la solution est de la forme \(ae^t+be^{-t}-t\) et je calcule rapidement \(a\) et \(b\) pour avoir le raccord en 2.

    En fait, pour me simplifier la vie :
    — sur \(]-\infty,2]\), la solution est \(\cosh t\) ;
    — sur \([2,+\infty[\), la solution est de la forme \(a\cosh(t-2)+b\sinh(t-2)-t\);
    et les conditions de raccord fournissent immédiatement : \(a=2+\cosh(2)\) et \(b=1+\sinh(2)\).
  • gebrane
    gebrane
    @gerard0
    Poirot a dit que cette méthode (celle dans mon premier message) est de loin d'être la plus simple
    @gb
    Ok, J'avais mal compris ton message, Ce que tu proposes, je l'ai déjà dit dans mon premier message. Mon soucis était de donner à mon ami une méthode simple
    Merci
    Le 😄 Farceur


  • gb
    gb
    La méthode que je propose se fait entièrement de tête, sans rien écrire.

    Pour un calcul direct et global avec variation des constantes je demande à voir la gestion des intégrations par parties à travers la discontinuité de \(H\).
  • Poirot
    Poirot
    @gebrane : tu as mal compris mon message, je dis que le recollement que tu suggères est la méthode la plus simple, et de loin, pas que c'est loin d'être la méthode la plus simple !
  • gebrane
    gebrane
    Ah ! Ma compréhension du français est lamentable (td)
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    @gb

    Il faut une certain aisance sur Heaviside
    On retient qu'une primitive de H: $\int H(t-2) dt = (t-2)H(t-2)$ et $\int e^t H(t-2) dt= (e^t-e^2)H(t-2)$ d'où le calcul par ipp de $\int t e^t H(t-2) dt$ ou $\int t e^{-t} H(t-2) dt$
    Le 😄 Farceur


  • gb
    gb
    J'adore la notion de primitive non dérivable…
  • Poirot
    Poirot
    Donc au lieu d'enchaîner des symboles de manière non rigoureuse, il vaut mieux utiliser la méthode employée par gb, qui est de résoudre séparément sur les deux intervalles qui nous intéressent puis de tenter de recoller tout ça pour avoir une solution sur $\mathbb R$. Et là on peut être certain d'avoir répondu à la question.
  • gb
    gb
    gebrane a écrit:
    Quelle est votre méthode pour résoudre ce genre d’équation à la main.

    Utiliser un système fondamental de l'équation sans second membre qui soit adapté à la situation, et être au point sur les solutions particulières dans le cas des seconds membres particuliers.
    Je n'utilise donc pas le même système fondamental pour résoudre de part et d'autre du point 2 ; du coup, je résous non pas à la main, mais de tête, et j'écris directement la solution.
  • gebrane
    gebrane
    merci gb d'avoir insisté sinon j'aurais transmettre l'affreuse erreur sur la "primitivation" de H à mon ami .
    Le 😄 Farceur


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