Convergence uniforme

Tankario
Tankario
dans Analyse
Bonjour,

Si j'ai $f_n (x)$ une suite de fonctions, admettons que sa limite soit $f(x)=0$, et que je souhaite calculer sa convergence uniforme.
Je peux calculer sa dérivée $f'_n(x)$ et regarder où elle s'annule. Mais pourquoi si cette dérivée s'annule en un point $x$,
je dois ensuite déterminer $sup \mid f_n(x) \mid$ ? Que représente graphiquement ce point $x$ pour la fonction $f_n (x)$ ?

Merci

Réponses

  • Alda
    Alda
    Il ne suffit pas que la dérivée s'annule en un point $x_0$, ce point doit en plus présenter un maxima, sans quoi il perd son utilité, sinon on peut recourir au tableau de variation si c'est facile à avoir. Pourquoi calculer $sup(|f_n(x)|)$ ? en réalité on calcule $sup(|f_n(x)-f(x)|)$ mais $f(x)$ est nul dans ce cas. Pourquoi on calcule $sup(|f_n(x)-f(x)|)$ ?
    Pour retrouver sa limite ( cf. Définiton convergence uniforme).
  • gb
    gb
    Bonjour,

    La convergence uniforme de la suite \((f_n)_n\) vers \(f\), c'est la convergence vers 0 de la suite de terme général \(\sup\lvert(f_n-f)(x)\rvert\).

    Dans le cas où la limite \(f\) est nulle, il faut donc étudier la suite de terme général \(\sup\lvert(f_n)(x)\rvert\).
    Dans les bons cas, cette borne supérieure est un maximum, atteint en un point \(x\) qui annule la dérivée \(f_n'\).
  • Tankario
    Tankario
    J'ai bien compris pourquoi on calcule uniquement $ sup \mid f_n (x) \mid $, c'est parce-que $f(x) = 0$. Ce que je voulais savoir, c'est est-ce que le point qui annule $f'_n (x)$ est systématiquement $ sup \mid f_n (x) \mid $ ? Si non, comment le voir rapidement ?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Cours de première : extrémums d'une fonction dérivable.
    Attention : Le sup n'est pas nécessairement à un point où la fonction a une dérivée nulle. Penser par exemple à la fonction arctan.

    Donc dans chaque situation, examiner ce qui se passe et appliquer les théorèmes classiques.

    Cordialement.
  • Tankario
    Tankario
    C'est compris, merci.
  • gb
    gb
    En étudiant les variations de \(f_n\) à partir du signe de sa dérivée…
  • Tankario
    Tankario
    J'ai une autre question. Sur le lien suivant, l'exercice 4 : Ici
    Pourquoi on détermine $f_n (1/n)$ ?

    De plus, comment le sup de la fonction peut-il être inférieur où égal à $f_n (1/n)$ ?
  • gerard0
    gerard0
    C'est une erreur de frappe. le bon signe est $\ge$.

    Cordialement
  • Tankario
    Tankario
    Résolu, merci à vous pour votre aide.
  • chercheur-calculs
    chercheur-calculs
    Bonjour,

    Il me semble que le terme de "convergence uniforme", signifie que cela converge vers 1 seul point.
    Cela convergerait sur 2 points, si on avait comme équation de départ $g_n(x)=(-1)^n*f(x)$
    Du coup, selon la valeur paire ou impaire du paramètre $n$, c'est pas le même résultat, ce n'est donc pas uniforme.

    Bien entendu, le paramètre $n$ peut aussi se trouver dans la fonction $f$; ce qui pourrait simplement être borné, donc majoré de la même manière.
  • Magnéthorax
    Magnéthorax
    Heu chercheur... Il ne t'est pas interdit de vérifier les définitions avant de t'exprimer dessus. Elles ne sont pas cachées.
  • gerard0
    gerard0
    Il vaut mieux ne pas s'occuper des interventions de chercheur-calculs, c'est soit un troll, soit un bot mal réglé. Voir ici par exemple.
  • Magnéthorax
    Magnéthorax
    Un bot, carrément ? Je suis bluffé.
  • chercheur-calculs
    chercheur-calculs
    Vous me jugez très facilement et, je ne cherche qu'à trouver des gens avec qui partager mes connaissances. Pourquoi de ces insultes de bot ou troll ?
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