Système fondamental

Bonjour,
Considérons l'équation différentiel linéaire d'ordre 1, avec l'espace en question $\mathbb K^n$
$X'=A(t)X$
Obtenir l'ensemble des solutions de cette équation revient à obtenir un système fondamental.
Est-ce que pour obtenir ce système je suis autorisé à fermer l’œil sur une petite opération qui consiste à multiplier par $e^{-B}$ avec $B$ primitive de $A$
pour ensuite continuer comme dans le cas scalaire, on retrouve ainsi $X=\lambda e^B$
Cependant la primitive de A n'est pas toujours évidente à trouver, sans parler du calcul de son exponentielle qui en cas de non "diagonabilité" reste assez difficile, surtout quand $n>2$
Aussi je me demande pourquoi je retrouve l'ensemble des solutions sous la forme $\lambda e^B$ qui est un espace de dimension $1$, normalement je devrais trouver un espace de dimension $n$.
Sinon vous auriez une méthode efficace pour trouver un système fondamental ?
Cordialement.