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Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann

Envoyé par Topotopo 
Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
Bonsoir,
je cherche des exemples sur des fonctions Lebesgue intégrable mais pas Riemann intégrable et sur des fonctions intégrables au sens de Riemann généralisé mais pas au sens de Riemann.
Merci beaucoup.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Fonction integrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
Bonjour.

Pour la première $1_{\mathbb Q}\times 1_{[0;1]}$; pour la deuxième il suffit de prendre une intégrale sur un intervalle infini (*).

Cordialement.

(*) J'ai supposé que " intégrable au sens de Riemann généralisé" veut dire qu'une intégrale généralisée converge.
Re: Fonction integrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
Merci, 'il vous plait avez vous une référence ou je peux trouver des démonstrations sur le sujet en détail ?
Re: Fonction integrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
Ces démonstrations, c'est à toi de les faire, après avoir appris la théorie de l'intégration (*)

Cordialement.

(*) si tu ne veux pas l'apprendre, inutile de perdre du temps avec ça.
Re: Fonction integrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
non pas la résolution de ces problème , je veux un cours ou il y a toutes les propriétés, les théorèmes,.. je veux reprendre le cours de mesure mais j'ai un peu oublié .
Re: Fonction integrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
Tu peux déjà regarder ce qu'il y a sur le forum (En haut à gauche : les cours). Pour l'intégrale de Riemann, il y a tout ce qu'il faut dans les bouquins de L1 ou L2.

Bon travail !
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
S'il vous plaît, je peux considérer uniquement $1_{\mathbb{Q}}$ au lieu du produit cartésien ?

Et pour le 2eme exemple je n'ai pas bien compris se que je dois faire.

Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
gb
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
avatar
Citation
Topotopo
je peux considérer uniquement $1_{\mathbb{Q}}$ au lieu du produit cartésien ?

Il ne s'agit pas d'un produit cartésien, mais du produit de deux fonctions ; il a été utilisé, pensé-je, afin d'obtenir une fonction à support compact.

Citation
Topotopo
Et pour le 2eme exemple je n'ai pas bien compris se que je dois faire.

Considérer une intégrale généralisée comme \(\int_0^{+\infty} \frac{sin t}{t}\, dt\).
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
Ahhh je comprend il voulait dire $x\in [0,1]$
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
Comment montrer s'il vous plait que $\dfrac{\sin(x)}{x}$ n'est pas intégrable au sens de Riemann ?
gb
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
avatar
L'intégrale de Riemann ne concerne que les fonctions définies sur des segments.
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
$[0,+\infty[$ est un segment, non ?
gb
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
avatar
Par vraiment, un segment, c'est un intervalle compact.
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
C'est pour cela qu'elle n'est pas Riemann intégrable ?
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
avatar
La page 4 de ma fiche "tout ce que vous avez toujours voulu savoir ..." peut t'intéresser

[www.iecl.univ-lorraine.fr]

La question de la Riemann-intégrabilité de $\frac{\sin x}{x}$ n'a pas vraiment de sens, ou en tout cas pas le sens que tu crois.

Comme gb l'a dit la théorie de l'intégrale de Riemann ne parle que de fonctions bornées sur un compact.

On a l'inclusion: la théorie de l'intégrale de Cauchy (intégrale des fonctions continues sur un compact) peut être vue comme un cas particulier de la théorie de l'intégrale de Riemann qui elle même peut être vue comme un cas particulier de la théorie de l'intégrale de Lebesgue.

Il ne faut pas confondre ces théories de l'intégration avec l'intégrale généralisée, qu'on appelle parfois improprement intégrale de Riemann généralisée, qui consiste juste à regarder si des intégrales $\int_{a_n}^{b_n}$ définies par l'une des théories ci-dessus admettent des limites lorsque $a_n$ et $b_n$ tendent vers des nombres finis ou infinis.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par aléa.
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
Merci, mais comment donner un exemple qui montre que ce n'est pas toute les fonction Riemann intégrable, qui sont intégrable au sens de Riemann généralisé ?
gb
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
avatar
L'intégrale de Riemann concerne les fonctions bornées définies sur un intervalle fermé et borné.
L'intégrale de Riemann généralisée concerne les fonctions, bornées ou non, définies sur un intervalle non fermé ou non borné.

Il n'y a aucune comparaison possible entre ces deux situations.
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
mais pourtant il y a une intersection entre les fonction Riemann intégrable et Riemann généralisé?
gb
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
avatar
On ne doit pas avoir la même définition de l'intégrale généralisée…
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
Topotopo,

pour éviter de rallonger inutilement ce fil, dis nous quelle est ta définition de " intégrable au sens de Riemann généralisé". On saura ainsi de quoi tu parles.
Par la même occasion, définis précisément " intégrable au sens de Riemann" (et "Riemann-intégrable" si ce sont des notions différentes pour toi).

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par gerard0.
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
avatar
Pour compléter ce qui a déjà été dit, "Riemann-intégrable sur un intervalle quelconque" n'a pas de définition universellement admise. Cependant, une définition assez courante est la suivante :

Citation

$f$ est Riemann-intégrable sur $I$ si $|f|$ est Riemann-intégrable sur tout segment $S$ inclus dans $I$ et si $S \mapsto \int_S |f|$ est majorée.

Il s'agit en fait de l'intersection de "Lebesgue-intégrable" et de "Riemann-intégrable au sens généralisé".

Erratum : voir la remarque de gerard0 ci-dessous.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Siméon.
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
Attention,

il y a un problème avec la valeur absolue. La fonction $1_{\mathbb Q}\times 1_{[0;1]}-\frac1 2$ est de valeur absolue Riemann-intégrable sur n'importe quel intervalle (*), mais son intégrale de Riemann sur un intervalle, par exemple [0;1] n'existe pas. Il vaut mieux utiliser $f^+$ et $f^-$ que $|f|$.

Cordialement.

(*) C'est $1_{[0;1]}\times \frac1 2$



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par gerard0.
Re: Fonction intégrable Lebesgue vs Riemann
l’an passé
avatar
En effet, merci pour la remarque. Je n'avais pas réfléchi plus loin que le cadre des programmes de cpge qui se limitent aux fonctions continues par morceaux.

Pour ajouter à la confusion, n'oublions pas non plus la notion de fonction « directement Riemann-integrable » : [arxiv.org]



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Siméon.
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