Espaces Lp, normes Lp et fonction indicatrice
dans Analyse
Bonjour,
Soit $A = [0,+\infty[$. Pour chaque $p \in [1,+\infty]$, calculer la norme $||.||_p$ de la fonction $f : A \rightarrow \mathbb{R}$ définie par :
$f(x) = \sin(e^{x^3}) 1_{A \cap \mathbb{Q}}(x) + e^{-x} 1_{A/\mathbb{Q}}(x)$ que j'ai réécrit $f(x) = \begin{cases}
\sin(e^{x^3}) & \text{ si } x \in \mathbb{R}^+ \cap \mathbb{Q} \\
e^{-x} & \text{ si } x \in \mathbb{R}^+ / \mathbb{Q}
\end{cases}$
Tout d'abord, pour la norme 1, je fais :
$||f||_1 = \int |\sin(e^{x^3})| 1_{A \cap \mathbb{Q}}(x) dx + \int e^{-x} 1_{A/\mathbb{Q}}(x) dx$.
Je commence les cours sur les espaces Lp donc je ne suis pas très douée. Comment je peux calculer le premier terme ? J'ai pu lire qu'il valait 0 mais je ne comprends pas bien pourquoi. Le deuxième terme est plus simple à calculer mais avec quelles bornes ? Quelqu'un pourrait me donner des pistes ? Merci d'avance.
Soit $A = [0,+\infty[$. Pour chaque $p \in [1,+\infty]$, calculer la norme $||.||_p$ de la fonction $f : A \rightarrow \mathbb{R}$ définie par :
$f(x) = \sin(e^{x^3}) 1_{A \cap \mathbb{Q}}(x) + e^{-x} 1_{A/\mathbb{Q}}(x)$ que j'ai réécrit $f(x) = \begin{cases}
\sin(e^{x^3}) & \text{ si } x \in \mathbb{R}^+ \cap \mathbb{Q} \\
e^{-x} & \text{ si } x \in \mathbb{R}^+ / \mathbb{Q}
\end{cases}$
Tout d'abord, pour la norme 1, je fais :
$||f||_1 = \int |\sin(e^{x^3})| 1_{A \cap \mathbb{Q}}(x) dx + \int e^{-x} 1_{A/\mathbb{Q}}(x) dx$.
Je commence les cours sur les espaces Lp donc je ne suis pas très douée. Comment je peux calculer le premier terme ? J'ai pu lire qu'il valait 0 mais je ne comprends pas bien pourquoi. Le deuxième terme est plus simple à calculer mais avec quelles bornes ? Quelqu'un pourrait me donner des pistes ? Merci d'avance.
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Réponses
Ce n'est pas une histoire d'espaces $L^p$ ici mais d'intégrale de Lebesgue.
Je vais illico revoir mon cours sur l'intégrale de Lebesgue.
Pour continuer mon exercice, donc :
$||f||_1 = \int_0^{+\infty} e^{-x} dx = 1$.
$||f||_p^p = \int |\sin^p(e^{x^3})| 1_{A \cap \mathbb{Q}}(x) dx + \int e^{-px} 1_{A/\mathbb{Q}}(x) dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-px} dx = \dfrac{1}{p}$.
Donc $||f||_p = (\dfrac{1}{p})^{1/p}$.
$||f||_{\infty} = \{M, |f(x)| \leq M\}$.
Or $|\sin(e^{x^3}) 1_{A \cap \mathbb{Q}}(x) + e^{-x} 1_{A/\mathbb{Q}}(x)| \leq 1$.
Pouvez-vous me confirmer ou non ces réponses ?
Que peut bien vouloir dire $||f||_{\infty} = \{M, |f(x)| \leq M\}$ ? Sinon l'inégalité à la fin est correcte, en es-tu convaincu ?
$||f||_p^p = \int |f|^p = \int |\sin(e^{x^3}) 1_{A \cap \mathbb{Q}}(x) + e^{-x} 1_{A / \mathbb{Q}}(x)|^p dx = \int |\sin(e^{x^3})|^p 1_{A \cap \mathbb{Q}}(x) + \int |e^{-x}|^p 1_{A / \mathbb{Q}}(x) dx$.
Sur A\Q, on a |exp(-x)| = exp(-x) donc le dernier terme vaut $\int e^{-px} 1_{A/\mathbb{Q}} dx$. Mais je crois que je me suis trompée pour le premier terme dans mon poste précédent.
Sinon pour $||f||_{\infty}$ j'ai oublié le "inf", c'est $||f||_{\infty} = \inf\{M, |f(t)| \leq M \}$.
Pour la dernière inégalité, on a $|\sin(e^{x^3})| \leq 1$ et $|e^{-x}| \leq 1$. Donc il me semble que $||f||_{\infty} = 2$.
De même tu ne justifies pas du tout que $||f||_{\infty}=2$, tu montres au mieux que $||f||_{\infty} \leq 2$.