Limite de suite récurrente

Adaq · March 2018

Bonjour,
Je suis nouveau ici, je suis donc désolé si il y une procédure ou quelque chose comme ça que je ne respecte pas, ou si je ne parviens pas à écrire proprement les formules

J'ai deux exercices à réaliser avec cette suite récurrente et je ne parviens pas à la mettre sous forme non récurrent :

a_n = 2^0.5
a_n+1 = (2 + a_n)^0.5

Je n'ai malheureusement pas trouver le moyen d'écrire le symbole de la racine.
J'aimerais donc savoir comment réecrire cela sous forme non récursive pour pouvoir calculer sa limite (si elle existe).

Merci d'avance !

marsup · March 2018

Salut Adaq,

Pas de problème ! En fait, le mieux c'est d'écrire en LaTeX, mais il faut savoir comment (c'est pas complètment évident)...

Est-ce que tu voulais dire ce qui suit ?
$a_0 = \sqrt{2}$
$\forall n \in \N, a_{n+1} = \sqrt{2+a_n}$

Adaq · March 2018

A d'accord, je connais Latex mais je ne savais pas merci du conseil ! Je le ferai à l'avenir

Et oui pardon, c'était bien a₀ et oui pour tout n.

marsup · March 2018

Bah, après une formule fermée, je propose (mais soit on sait, soit on sait pas !)

$$a_n = 2 \cdot \cos\Big(\frac{\pi}{2^{n+2}}\Big).$$

Adaq · March 2018

Je vois, mais comment en arrive-t-on à cette formule fermée précise ? Quel est le raisonnement ? Ou puis-je apprendre à trouver ce type d'expression pour d'autre cas ?

marsup · March 2018

C'est de la magie ! C'est la formule de Viète...

Comment faire pour arriver à cette formule ? C'est (presque) impossible sans qu'on nous donne la réponse !

Tryss · March 2018

Il n'est pas nécessaire de trouver une expression explicite de $a_n$ pour calculer sa limite.

Dans le cas des suites récurrentes de la forme $a_{n+1} = f(a_n)$ avec $f$ continue, la limite de $(a_n)$, si elle existe, est un point fixe de $f$. C'est à dire que la limite $L$ (toujours, si elle existe) vérifie

$L = f(L)$

Et dans ton cas, cette équation est facile à résoudre.

Reste à prouver que la suite admet une limite. Par exemple, si tu arrives à montrer que ta suite $(a_n)$ est croissante et majorée, alors elle admet une limite (qui est alors le $L$ du dessus)

Adaq · March 2018

Je vois... cela m'étonnerais donc que je doive passer par là. Parce que mon exercice consiste à prouver que la limite supérieur de cette suite est 2 et je dois par la suite (sans mauvais jeu de mot) trouver sa valeur limite. Il y aurait-il donc un moyen de faire cela sans l'aide de cette puissante magie ?

Merci beaucoup de tes explications en tout cas !

marsup · March 2018

Après, il n'y a pas besoin de la formule fermée pour montrer par récurrence que
$0 \le a_n \le 2$,

et d'en déduire que $(a_n)$ est croissante.

Du coup, elle converge, et sa limite est un point fixe de la fonction itérée $x \mapsto \sqrt{2+x}$.

marsup · March 2018

Tiens, un autre exercice débile :

Montrer que la suite définie par :

$u_0 = 0$
$u_{n+1} = \sqrt{1+u_n^2}$

tend vers $+\infty$.

PS : on pourra trouver une expression fermée de $u_n$ (ou bien étudier la suite définie par $v_n = u_{n}^2$.)

Adaq · March 2018

Ah d'accord c'est tout de suite bien plus facile ! En trois petite ligne c'est réglé du coup. Merci beaucoup !

Adaq · March 2018

Je ne sais pas si j'ai bien compris : pour calculer la limite je suis sensé trouver la solution de l'équation suivante ? :

x = (2 + x)^0.5

(Je n'ai pas trouvé où taper le latex, est-ce que je dois dans le mettre dans un bloc de code ?)

marsup · March 2018

Entre dollars dans le corps du texte : $\$ mon code \$ $

Sinon, oui c'est le théorème du point fixe :

si la suite converge, c'est vers un point fixe.

Adaq · March 2018

Ok je vois, petit test :

$x = \sqrt{2 + x}$

Du coup en résolvant cela, si je n'ai pas fait d'erreur cela donne 2 ou -1, comment justifier l'écart du -1 de façons formelle ?

marsup · March 2018

Bravo pour le LaTeX !

Tu commets une (gravissime) erreur en disant que $-1$ est solution de $x = \sqrt{2+x}$ !

Adaq · March 2018

Ah oui pardon nous sommes dans les fonctions, autant pour moi !

marsup · March 2018

Euh, je ne comprends pas ton explication.

À mon avis, c'est juste que, pour une raison ou une autre, on a :
$$- 1 \neq \sqrt{2+(-1)} = \sqrt{1} = 1.$$

Adaq · March 2018

Dans le sens que si c'était un simple exercice d'équation on pourrait admettre que

$x = \sqrt{1}$

peut admettre 1 et -1 comme solution non ?

Adaq · March 2018

Ou alors je confond avec $x^2 = 1$

marsup · March 2018

Pas d'accord :

L'équation $x = \sqrt{1}$ admet une et une seule solution. (!!)

C'est $x=\sqrt{1}=1$.

La définition des trucs et des bidules ne change pas suivant le titre de l'exercice, ni l'intitulé du TD (enfin, j'espère...)