Convergence d'une série

Que sommes-nous censés savoir ??? (que signifie "sachant que" ?)

On a le droit d'utiliser que $\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x)$, voire tout le reste de la définition et des propriétés ?

Ou bien s'agit-il de montrer l'énoncé à l'aveugle pour n'importe quelle suite
$(u_n)$ à la place de $\Gamma(n+\frac{1}{4})$, pourvu que $u_n \sim $(stirling) ?

Ah oui, parce que bien sûr, la formule de Stirling c'est pas assez "classique" ?

Bon, j'arrète de parler pour ne rien dire.

Ne peut-on pas appliquer le critère d'Abel :

si $\sum_{k} a_k$ est bornée
$b_n$ décroissante vers 0

alors $\sum a_n \cdot b_n$ converge ?

Bon, moi, c'est pas forcément le nom qu'on donne à telle ou telle chose qui me passionne le plus, mais là en l'occurrence, quelle appellation proposes tu pour cet équivalent de $\Gamma(x)$, qui retourne, pour $x \in \N^*$, $x \to \infty$, la formule de Stirling, expression équivalente, qui, rappelons-le, est entièrement transcendante et ne dépend absolument pas du caractère entier (ou non) de $x$ ???

Pour continuer à troller, on peut rajouter : $\Gamma(x)$, qui, pour mémoire, est le seul prolongement raisonnable, par Bohr-Mollerup de $(n-1)!$, (et qui se trouve être une fonction méromorphe)...

En fait le critère spécial des séries alternées suffit, en séparant parties réelles et imaginaires.

J'ai plutôt l'impression que c'est justement cette égalité $\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x)$ qui est utile, pour prouver que la suite $q_n=\dfrac{\Gamma \big( n+\frac{1}{4} \big)}{n!} $ est décroissante et tend vers $0$. Les suites $(\pm i)^n$ étant à sommes bornées, on applique le théorème d'Abel, et l'on conclut.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_par_parties
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/serie/serie_ch01/co/apprendre_15.html
Bonne nuit.
Fr. Ch.

@ Marsup
Soit donc $ \displaystyle q_{n}=\frac{\Gamma (n+\frac{1}{4})}{n!}$. Pour $ \displaystyle n\geq 1$ on a : $\displaystyle q_{n}=\frac{\Gamma (n+\frac{1}{4})}{n!}=\frac{(n-\frac{3}{4})\Gamma (n-\frac{3}{4})}{n\cdot (n-1)!}=(1-\frac{3}{4n})q_{n-1}$.
Ce qui prouve déjà que la suite $q_n$ est décroissante.

Il en résulte de plus : $ \displaystyle q_{n}=q_{1} \overset{n}{\underset{k=2}{\prod }}(1-\frac{3}{4k})$, d'où : $ \displaystyle \ln q_{n}=\ln q_{1}+\overset{n}{\underset{k=2}{\sum }}\ln (1-\frac{3}{4k})$.
La série de terme général $\ln(1- \frac 3{4n})$ est divergente, et comme ce terme général est négatif, il en résulte : $\ln q_{n}\rightarrow -\infty $, d'où : $q_{n}\rightarrow 0$.

Maintenant, moi je suis d'accord pour qualifier de « généralisée » la formule de Stirling citée en tête de ce fil, la formule de Stirling stricto sensu étant pour moi la même mais pour $x$ entier positif. Et de toutes façons, les gens sensés refusent la loi de Lynch. Mais généralisée ou non, cette formule est inutile ici : encore un exo mal foutu.

Bonne journée quoique maussade en ÎDF.
Fr. Ch.