Solution d'une équation différentielle

Bruce · March 2018

Bonjour,
On souhaite obtenir un système fondamental de l'équation différentielle définie sur $R_*^+$ suivante : $$y''-\frac{2}{x}y'+\frac{2}{x^2}y=0$$
j'ai pensé à un passage au complexe en posant $z=y+iy'$ et essayer de trouver une équation différentielle vérifiée par $z$ mais je n'y arrive pas
Ou bien écrire matriciellement l'équation différentielle sous forme de $Y'=AY$ mais la vérification de la commutativité entre $A$ et sa primitive n'est pas évidente, sans parler du calcul de son exponentielle.
Petite indication : le système fondamental est $(x,x^2)$ mais l'exercice exige de le démontrer et non juste à calculer son Wronskien en un point.
Cordialement

BobbyJoe · March 2018

écrire cela aide? .... $(y')'=2(\frac{y}{x})'.$

P. · March 2018

Les equations d'Euler $ax^2y''+bxy'+cy=0$ se traitent par la recherche des solutions en $x^r$ et (en cas de racine double en $r$ ) en $x^r\log x$)

GaBuZoMeu · March 2018

Le fait qu'on se restreigne à $x>0$ incite fortement à poser $x=e^t$. Et alors, miracle !

Bruce · March 2018

une recherche de solution développable en série entière est recommandé dans ce cas ?

marsup · March 2018

Je ne comprends pas trop, Bruce.

Une recherche en série entière donne des exemples de solutions. (des conditions suffisantes, donc)

Puisque tu sais déjà que $x,x^2$ sont solutions, que cherches-tu à apprendre de neuf ?

GaBuZoMeu · March 2018

As-tu essayé le changement de variables $x=e^t$ ? (À quoi ça sert que je me décarcasse ?)

gb · March 2018

Bonjour,

En chassant éliminant les dénominateurs, l'équation se met sous la forme :
\[x^2y''-2(xy'-y)=0\]
et c'est un grand classique : les équation linéaires homogènes du second ordre dans lesquelles intervient $xy'-y$ admettent $x$ pour solution particulière.
De ce fait, on les résout en changeant d'inconnue pour : $z=y/x$.

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