équation différentielle du second degré
Bonjour,
Je cherche à résoudre : $y''-2y'+2y=\dfrac{e^x}{cos^2 x}$ (E)
La solution de $y''-2y'+2y=0$ est : $y_0(x) = (K_1 cos x + K_2 sin x)e^x$
Je n'arrive pas à déterminer l'ensemble des solutions avec le second membre de l'équation, soit $y(x)=y_0(x) +h(x)$ où $h$ est une solution particulière de (E).
Merci.
D'abord j'ai pensé à la formule d'Euler mais ça n'a pas marché...
Merci encore.
Je cherche à résoudre : $y''-2y'+2y=\dfrac{e^x}{cos^2 x}$ (E)
La solution de $y''-2y'+2y=0$ est : $y_0(x) = (K_1 cos x + K_2 sin x)e^x$
Je n'arrive pas à déterminer l'ensemble des solutions avec le second membre de l'équation, soit $y(x)=y_0(x) +h(x)$ où $h$ est une solution particulière de (E).
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D'abord j'ai pensé à la formule d'Euler mais ça n'a pas marché...
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Réponses
Merci
En utilisant la méthode de la variation des constantes et la règle de Cramer (pour résoudre les deux "inconnues" $y_1$ et $y_2$), j'ai obtenu :
$$ y(x)=y_0(x)+K_1(x) y_1(x)+K_2(x) y_2(x)$$ avec $y_0(x)=(K_1\cos x+K_2\sin x)e^x = K_1e^x \cos x +K_2 e^x\sin x = K_1 y_1(x) +K_2 y_2(x) $, $K_1, K_2 \in \mathbb{R}$ et $ K_1(x)=\dfrac{1}{\cos x}$ et $ K_2(x)=\log\sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}$
J'espère que c'est bon...
En utilisant :
\[ \frac{1+\sin x}{1-\sin x} = \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \frac{1-\sin x }{1-\sin x} = \left(\frac{\cos x}{1-\sin x}\right)^2 \]
pour simplifier les expressions finales, ce serait plus pratique pour vérifier…
Il aurait peut-être été plus simple de résoudre l'équation par changement d'inconnue : \(z=ye^{-x}\).