Le carré sous la courbe

Bonjour,

Je propose ceci:
$M = \text{Max}\{f(x)\mid x\in [0;1]\}$. $\: a = \text{Min}\{x\in [0;1] \mid f(x) = M\}$ . $\:b = \text{Min} \{ x\in[0;1]\mid f(x) +x =1\}$.
La fonction $ x\mapsto f(x) +x$ est continue sur $[0;b]$ et prend les valeurs $0$ et $1$ en $0$ et $b$ , donc il existe $ c \in]0;b[$ tel que $f(c) + c = a$.
Soit $g$ la fonction définie par: $\forall x\in [0;b] \:\: g(x) = f(f(x)+x) - f(x)$.
Alors: $g(c) =f(a) - f(c)$, $\:0<c<a$ , et la définition de $a$ entraine: $\boxed {g(c)>0}$.
Si $b=1$ , alors , en définissant $a' = \text{Max} \{x\in [0;1]\mid f(x) =M\}$ on a: $g(a') = f(a'+f(a')) -M$ donc $ \boxed{g(a')<0}$.
Si $b\neq1$ , alors $ g(b) = -f(b)$ donc : $\boxed{g(b)<0}$.
Les inégalités encadrées et la continuité de $g$, sur $[0;b]$ font qu' il existe $d$ dans $]0;b[$ tel que $g(d) = 0$.
Les points de coordonnées $(d; 0), \:(d;f(d)),\: (d+f(d);0),\: (d+f(d); f(d))$ sont alors, dans un plan muni d'un repère orthonormé, les sommets d'un carré répondant à la question.