produit de convolution
Bonjour,
pour déterminer des densités de somme de variables aléatoires (à condition que celles-ci soient indépendantes et qu'au moins une de des deux densités soit bornées --> apparement ceci garantit l'existence du produit de convolution et sa continuité sur R) on utilise le produit de convolution
Les densités étant souvent nulle sur un intervalle voire une réunion d'intervalles, trouver l'intervalle sur lequel les deux densités sont non nulles revient souvent à trouver des intersections de segment, et je viens de m'apercevoir que, en général , l'intersection du segment entre a et b et du segment entre c et d n'est pas segment entre max(a,c) et min(b,d) (a,b,c,d réels), mais alors dans quels cas ceci est-il vrai?
Autre sujet, complètement différent (quoique, on sait jamais.......)
si l'on considère une fonction f de R^n dans R C2 sur R^n, U un ouvert de R^n et A dans U pt critique de f on démontre assez rapidement grâce au DL d'ordre 2 que si les valeurs propres de la forme quadratique associée à la hessienne de f au point A (bien symétrique, car fC2 (Schwarz)) sont strictement positives (resp. strictement négatives) alors f admet en A un minimum local sur U (resp. un maximum local)
Souvent, on utilise une technique pour savoir, dans le cas où le pt critique A s'est révélé bon candidat (lorsqu'il est effectivement extremum local), si A n'est pas en fait extremum global de f sur U
Pour ceci on définit g fonction de R dans R qui à t associe f(A+tH) où H élément non nul quelconque de R^n et comme f est C2, g est C2 donc d'après Taylor reste intégrale à l'ordre 1 sur segment 0;1 on a g(1)=g(0) + (1-0)g'(O) +intégrale de 0 à 1 (1-t)g''(t)dt donc f(A+H)=f(A) + < gradient de f en A,H> +1/4 q(A+tH) (<.> produit scalaire canonique sur R^n)
Mais comment sait-on que g''(t)=q(A+tH) ??
Merci
pour déterminer des densités de somme de variables aléatoires (à condition que celles-ci soient indépendantes et qu'au moins une de des deux densités soit bornées --> apparement ceci garantit l'existence du produit de convolution et sa continuité sur R) on utilise le produit de convolution
Les densités étant souvent nulle sur un intervalle voire une réunion d'intervalles, trouver l'intervalle sur lequel les deux densités sont non nulles revient souvent à trouver des intersections de segment, et je viens de m'apercevoir que, en général , l'intersection du segment entre a et b et du segment entre c et d n'est pas segment entre max(a,c) et min(b,d) (a,b,c,d réels), mais alors dans quels cas ceci est-il vrai?
Autre sujet, complètement différent (quoique, on sait jamais.......)
si l'on considère une fonction f de R^n dans R C2 sur R^n, U un ouvert de R^n et A dans U pt critique de f on démontre assez rapidement grâce au DL d'ordre 2 que si les valeurs propres de la forme quadratique associée à la hessienne de f au point A (bien symétrique, car fC2 (Schwarz)) sont strictement positives (resp. strictement négatives) alors f admet en A un minimum local sur U (resp. un maximum local)
Souvent, on utilise une technique pour savoir, dans le cas où le pt critique A s'est révélé bon candidat (lorsqu'il est effectivement extremum local), si A n'est pas en fait extremum global de f sur U
Pour ceci on définit g fonction de R dans R qui à t associe f(A+tH) où H élément non nul quelconque de R^n et comme f est C2, g est C2 donc d'après Taylor reste intégrale à l'ordre 1 sur segment 0;1 on a g(1)=g(0) + (1-0)g'(O) +intégrale de 0 à 1 (1-t)g''(t)dt donc f(A+H)=f(A) + < gradient de f en A,H> +1/4 q(A+tH) (<.> produit scalaire canonique sur R^n)
Mais comment sait-on que g''(t)=q(A+tH) ??
Merci
Réponses
-
Bonjouf,
L'application \(g\) est la composée de \(f\) et de la fonction affine \(h : t \mapsto A+tH\), il suffit de dériver deux fois \(f\circ h\) pour obtenir \(g''\). -
bonjour monsieur,
merci pour votre réponse
juste en dérivant, on tombe sur la forme quadratique de la hessienne? -
Ben, oui.
En utilisant la règle de la chaîne :
\[g'(t) = (f\circ h)'(t) = \sum_{i=1}^n \bigl( (\partial_i f)\circ h \bigr)(t) H_i\]
et pour obtenir la dérivée seconde, il faut désormais dériver les composées \((\partial_i f)\circ h\), qui sont obtenue par la même méthode que pour \(f\circ h\) (formellement on remplace \(f\) par la dérivée partielle \(\partial_i f\), ce qui oblige à utiliser un nouvel indice \(j\)) :
\[g''(t) = \sum_{i=1}^n \bigl( (\partial_i f)\circ h \bigr)'(t) H_i = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n \bigl( (\partial_j\partial_i f)\circ h \bigr)'(t) H_j \right) H_i = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (\partial^2_{j,i}f)(A+tH) H_j H_i = q(A+tH)(H).\] -
Merveilleux, merci
Pourriez vous me dire par rapport aux question sur les intersections de segment svp? -
Les segments sont des intervalles : leur intersection également.
Les segments sont fermés : leur intersection également.
Le problème est que cette intersection peut être vide ; exemple: \([0,1]\cap[2,3]\).
De façon générale :
\[[a,b]\cap[c,d] = \lbrace x\in\R \mathbin{;} \max(a,c) \leqslant x \leqslant \min(b,d) \rbrace = \begin{cases} [\max(a,c),\min(b,d) ] & \text{si } \max(a,c) \leqslant \min(b,d) \\ \emptyset & \text{si } \max(a,c) > \min(b,d) \end{cases}.\] -
d'accord merci, beaucoup en fait les segments (dans le langage du cours sur R^n avec n=1) sont des parties convexes, fermées, bornées?
-
Oui, et ces propriétés sont stables par intersection.
-
Le produit de convolutions est admis pour des variables à densité.
En revanche, on le retrouve à la main pour des variables discrètes entières.
Soit $S = X+Y$, avec $X,Y$ indépendantes à valeurs entières.
Alors pour $n \in \N$, on a :
$P(S=n) = \sum_{k=0}^{n} P(X=k) \cdot P(Y=n-k)$.
C'est le produit de convolution discret des deux lois de $X,Y$.
La formule pour les densités est une adaptation de celle-ci. -
d'accord merci
-
j'avais également une autre question à laquelle je n'ai trouvé nulle part réponse, comment fait-on pour montrer que min(X1,...,Xn) est encore une variable aléatoire sachant que X1,...Xn, sont n variables aléatoires définies sur (oméga, A,p) (pas forcement indépendantes (ni deux à deux, ni mutuellement) et c'est bien ça le problème )
Je sais qu'il faut montrer que pour tout x réel le sous-ensemble (min(X1,...,Xn) inférieur ou égal à x) est dans la tribu mais je n'y arrive pas
en fait, plus généralement, que faudrait-il faire pour construire, à partir de variables aléatoires, des "simples" applications de oméga dans R qui ne sont plus des variables aléatoires?
je ne vois comment "sortir" d'une telle structure
merci -
L'événement $M_x = [\min(X_1,\ldots,X_n) \le x ]$ est le complémentaire de
$\overline{M_x} = [\min(X_1,\ldots,X_n) > x ] = \bigcap_{k=1}^{n} [X_k > x]$, qui est mesurable (dans la tribu).
Pour le dire plus abstraitement et généralement, ça vient gratuitement avec la notion de fonction mesurable.
L'application $\min$ est mesurable (même raisonnement, ou bien simplement parce qu'elle est lipschitzienne, donc continue), donc si on la précompose par des fonctions mesurables (variables aléatoires), on obtient une fonction mesurable (variable aléatoire).
Pour créer des "non-variables aléatoires", il suffit de définir des "variables aléatoires" qui ont une probabilité >0 de prendre des valeurs infinies.
Par exemple :
si $X_n = \sum_{k=1}^{n} \epsilon_k$, avec $\epsilon_k \hookrightarrow B(\frac{1}{2})$ Bernoulli indépendantes.
La variable $T = \min \{n \in \N, \text{ tq :} X_n > \frac{2}{3} \cdot n\}$ a une probabilité $>0$ de valoir $+\infty$, car l'événement attendu n'a pas une probabilité $=1$ de se produire.
Quand on te demande de justifier "bidule est bien une variable aléatoire", il faut donc montrer que "bidule" a une probabilité = 1 de prendre une valeur finie.
(un contre exemple beaucoup plus simple, mais moins typique, ce serait $Y=\frac{1}{X}$, avec $X \hookrightarrow B(\frac{1}{2})$.) -
d'accord, merci
Peut-être la question est stupide mais pourquoi la fonction min est lipschitzienne? De ce que j'ai appris, le fait d'être lipschitzienne se restreint aux fonctions d'une variable réelle, or la fonction min n'a de sens que à partir du moment où on la définit au moins sur R^2
Merci pour vos explications -
Soient $(x,y)$ et $(x',y')$ deux points du plan $\R^2$.
Est-ce que tu arrives à encadrer :
$
|\min(x',y') -
\min(x,y)|
$
en fonction de :
$|x'-x|$ et $|y'-y|$ ? -
sauf erreur, je crois que oui en utilisant le fait que min(x,y)=valeur absolue de x +y - valeur absolue de x-y /2 et deux fois l'inégalité triangulaire cela donne un majorant qui est valeur absolue de x-x' + valeur absolue de y-y'
-
Eh ben impec, alors ! (je te fais confiance pour les calculs ?)
Cette inégalité
$$
|\min(x',y') -
\min(x,y)|
\le
|x'-x| + |y'-y|$$
montre que $\min$ est 1-lipschitzienne, donc continue. -
en gros ici vous généraliser la notion lipchitzienne avec la norme 1 de R^2?
-
Moui, disons ça.
-
généralisez***
-
Bonjour,
je reviens à la charge avec les intersections d'intervalles
La formule donnée hier par monsieur gb est très utile, en revanche si l'on doit déterminer l'intersection pour x réel quelconque du segment x-1;x et de R+ comment fait-on? Ici l'exemple se fait de tête, mais une formule systématique sur le modèle de ce qu'a donné monsieur gb avec des intervalles non bornés serait utile dans des cas + généraux
Une telle formule existe-t-elle ?
merci d'avance -
1. La question initiale portait sur des segments.
2. Je ne vois pas où intervient le fait que les bornes soient finies dans les résultats que j'ai fournis :
\begin{align}
[x-1,x]\cap\R^+ &= \lbrace t\in\R \mathbin{;} x-1 \leqslant t \leqslant x \mathbin{;} 0 \leqslant t \rbrace \\
&= \lbrace t\in\R \mathbin{;} \max(x-1,0) \leqslant t \leqslant x \rbrace \\ &= \begin{cases} \emptyset & \text{si } x<\max(x-1,0) \\ [\max(x-1,0),x] & \text{si } x\geqslant\max(x-1,0) \end{cases} \\
&= \begin{cases} \emptyset & \text{si } x<0 \\ [0,x] & \text{si } 0\leqslant x\leqslant1 \\ [x-1,x] & \text{si } x>1 \end{cases}
\end{align}
en discutant sur le positionnement des bornes de l'encadrement et sur la valeur de ces bornes. -
Ah oui d'accord, j'y vois plus clair, merci beaucoup cela m'a débloqué pour faire les produits de convolutions !
question de probabilités,
soient U et V deux variables aléatoires de supports respectifs l'intervalle 0;1 (ouvert en 0, fermé en 1)
soit Z=UV alors par indépendance le support de Z vaut le même intervalle 0;1 (pourquoi l'indépendance est nécessaire?? Selon moi ceci résulte simplement du fait que le produit de réels compris entre 0 et 1 soit entre 0 et 1, je ne vois pas comment il pourrait en être autrement pour des variables aléatoires)
dans un corrigé, on affirme que le fait que le support de Z soit l'intervalle 0;1 implique que la répartition de Z vaille 1 sur l'intervalle 1; + l'infini (fermé en 1)
Merci -
Parce que si $V = (1-U)$, par exemple, on a : $0 \le U \cdot V \le \frac{1}{4}$.
(je réponds à "pourquoi supposer l'indépandance", je n'ai pas compris le reste de la question...) -
merci pour le contre-exemple, mais si cela ne vous dérange pas, j'aimerais connaître la raison de cette chose (idée de la preuve svp)
-
La preuve de quoi ?
Que, pour $x \in [0;1]$, on a : $0 \le x(1-x) \le \frac{1}{4}$ ?
Je recommande une étude de fonction, ou bien, pour les érudits, l'inégalité arithmético-géométrique. -
Non non le contre exemple c'est ok!
(j'ai modifié, dans le message au dessus, ma question sur la répartition effectivement mal formulée)
Je vous parle de la preuve de l'affirmation "si U et V ont le même support et sont indépendantes alors UV a le même support"
Oui effectivement monsieur Bbidule pour moi c'est la même chose, à savoir, pour des variables à densités l'intervalle (ou réunion d'intervalles) sur le(s)quels une densité de la variable est non nulle (à un nombre fini de point près)
Pourriez vous me dire la différence ? -
je suppose qu'il faut utiliser le produit de convolution, mais cela m'étonnerait puisque cela est souvent avancé comme une évidence
-
Non, ça n'a rien d'une évidence.
Je crois que tu veux dire :
si $X,Y$ sont indépendantes, et $P = X \cdot Y$, alors
$P(\Omega) = X(\Omega) \cdot Y(\Omega)$
où (ATTENTION) : $\cdot$ ne désigne pas le produit cartésien, mais le produit (la multiplication des valeurs des ensembles).
Je surenchéris en disant la chose suivante :
Si $X,Y$ sont indépendantes, et $Z = f(X,Y)$, alors
$Z(\Omega) = f(X(\Omega),Y(\Omega))$.
Démontrons ceci une fois pour toute, écrivons ça dans un livre relié, et passons à autre chose !
Je préviens tout de suite : il faut des hypothèses sur $X,Y$, et $f$ que je ne précise pas.
C'est le genre de choses qu'on rédige quand on a un livre à faire publier, mais pas gratuitement sur son temps libre, ni le jour d'une épreuve de maths en prépa éco.
D'ailleurs les corrigés d'annales se gardent de trop détailler, et leurs auteurs ont bien raison à mon avis. -
d'accord, vous me rassurez!
Indépendamment du fait qu'on aurait probablement le droit de le balancer, pourriez vous m'expliquer une idée de la preuve de ce que vous affirmez?
Par exemple pour 2 variables à densité, avec f continue sur les supports des deux variables c'est vrai? -
Si $X,Y$ sont indépendantes , alors $(X,Y)(\Omega) = X(\Omega) \times Y(\Omega)$.
On applique n'importe quelle fonction de deux variables raisonnable, et le résultat vient. -
et pourquoi le fait que le support d'une variable variable aléatoire soit égal à un segment a;b implique que la répartition vaille 0 avant a et 1 après b?
-
Ça c'est évident, si on met ensemble la définition du support et de la fonction de répartition.
"quelle est la probabilité qu'une variable à valeur entre $[0;1]$ prenne une valeur plus petite que $-12$ ?" -
ah oui....
je ne comprends pas ce que désigne (X,Y)(oméga), est-ce un ensemble qui contient des éléments de R^2 ou de R? Je suppose de R^2 puisque c'est égale au produit cartésien qui par définition contient des couples mais quels sont ils? Quelle différence (par définition puisqu'ils s'avèrent qu'ils sont égaux si les variables sont indépendantes) y-a-t-il avec le produit cartésien?
J'essaie de comprendre avec votre contre-exemple mais je ne comprends pas grand chose.. -
@jp59:
On effectue $2$ tirages successifs sans remise dans une urne contenant initialement $3$ boules numérotées de $1$ à $3$.
On se place dans un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ adéquat.
On note $X_1$ le numéro obtenu au $1$er tirage et $X_2$ le numéro obtenu au $2$ème tirage.
Que dire de $(X_1,X_2)(\Omega)$ ? -
Je ne sais pas ce qu'est X1,X2(oméga) en général donc je ne saurais répondre, ce n'est même pas dans le livre que j'utilise pourtant dit "de référence"
-
Alors dans ce cas là je dirais X1,X2(oméga)=accollade ((1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2))accolade
-
Oui j'ai compris et par exemple (2,2) appartient au produit cartésien alors qu'il n'appartient pas à X1,X2(oméga) (il y a-t-il un nom pour cet objet?) donc ce n'est pas la même chose
-
mais du coup, pour un sous ensemble de R noté E, quelle différence entre dire "le support de X=E" et "X est à valeurs dans E" ?
-
Merci pour votre aide
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