Majoration
Bonjour
je n'ai pas compris cette majoration
Soit l'espace $ \mathbb{X} = L^{\infty}$ de suite borné $ x = \{ \xi_{n} \} $ muni de la norme $ \Vert x \Vert = \sup\limits_{n} \vert \xi_{n} \vert $ la fonction de $\mathbb{R} $ dans $\mathbb{X} $ $ f(t) = \lbrace \frac{1}{n} \cos\frac{t}{n} \rbrace $
et $ f_{n}(t) = \lbrace \cos t , ... \frac{1}{n}\cos \frac{t}{n},0,0,..\rbrace $ alors on a $\Vert f(t) - f_{n}(t)\Vert \leqslant \dfrac{1}{n+1}$
je n'ai pas compris cette majoration
Soit l'espace $ \mathbb{X} = L^{\infty}$ de suite borné $ x = \{ \xi_{n} \} $ muni de la norme $ \Vert x \Vert = \sup\limits_{n} \vert \xi_{n} \vert $ la fonction de $\mathbb{R} $ dans $\mathbb{X} $ $ f(t) = \lbrace \frac{1}{n} \cos\frac{t}{n} \rbrace $
et $ f_{n}(t) = \lbrace \cos t , ... \frac{1}{n}\cos \frac{t}{n},0,0,..\rbrace $ alors on a $\Vert f(t) - f_{n}(t)\Vert \leqslant \dfrac{1}{n+1}$
Réponses
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Peux-tu nous donner l'expression que tu trouves pour $f(t)-f_{n}(t)$ ?
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C'est ça où je suis bloquée je n'ai pas compris est ce que je fixe n où comment le faire
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Ah ok, c'est ça qui te bloque...
Il s'agit d'une suite de suites, indexée par un paramètre continu.
Il y a donc deux indices discrets, qui ne peuvent pas s'appeler tous les deux $n$... -
$f(t) $ est une suite, telle que le k-ième terme de la suite $f(t)_k$ est défini par $f(t)_k = \frac{1}{k} \cos(\frac{t}{k}) $
$f_n(t)$ est une autre suite, dont le k-ième terme est défini par $f_n(t)_k = \frac{1}{k} \cos(\frac{t}{k}) $ si $k \leq n$ et $0$ sinon -
$ f(t)-f_{n}(t) = \frac{1}{k-1} \cos(\frac{t}{k-1}) $ ?
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Les suites $f(t)$ et $f_n(t)$ ont (essentiellement) les mêmes termes.
La différence entre les deux, c'est que $f(t)$ a une infinité de "vrais termes", alors que $f_n(t)$ est tronquée, et qu'à partir du $n+1^{ème}$ terme, on les remplace tous par des zéros.
Si on fait la soustraction $f(t)-f_{n}(t)$, il ne reste donc que l'infinité de termes à partir $n+1$, précédé de $n$ termes nuls. -
Et en plus ton terme de droite dépend de $k$ et pas celui de gauche, ce qui est souvent suspect.
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