Dérivation

L'Apprenti · March 2018

Bonjour,

Je ne comprends pas la dérivation de cette fonction :

$\varphi(x) = f(b) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x)}{k!}(b-x)^k - A(b-x)^{(n+1)}$

$\varphi'(x) = -\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k+1)}(x)}{k!}(b-x)^k + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(x)}{(k-1)!}(b-x)^{k-1} + (n+1)A(b-x)^n$

Pourquoi obtient-on ces 2 sommes ?

Merci d'avance.

Dom · March 2018

Quand on dérive un produit, on obtient une somme de deux produits.

$\sum_k u_kv_k=\sum_k (u'_kv_k+u_kv'_k)$ et on imagine que l'on découpe la somme en deux sommes.

Je n'ai pas vérifié tout dans les détails quant à l'expression donnée.

marsup · March 2018

Pour :
$\varphi(x) = f(b) - \sum_{k=0}^n
\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(b-x)^k - A(b-x)^{(n+1)}$

Est-ce que ça va mieux si on écrit comme ça :
$$\varphi'(x) = - \sum_{k=0}^n \Bigg(\frac{f^{(k+1)}(x)}{k!}(b-x)^k - \frac{f^{(k)}(x)}{(k-1)!}(b-x)^{k-1} \Bigg) + (n+1)A(b-x)^n$$
(avec un peu de prise de liberté pour $n=0$)

L'Apprenti · March 2018

Ok donc les deux indices commencent à 0
$\varphi'(x) = -\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k+1)}(x)}{k!}(b-x)^k + \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x)}{(k-1)!}(b-x)^{k-1} + (n+1)A(b-x)^n$

On en déduit que :

$\varphi'(x) = -\sum_{k=0}^{n+1} \frac{f^{(k)}(x)}{(k-1)!}(b-x)^{k-1} + \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x)}{(k-1)!}(b-x)^{k-1} + (n+1)A(b-x)^n$

Question :
Obtient-on bien cela ?
$\varphi'(x) = - \frac{f^{n+1}(x)}{n!} (b-x)^n + (n+1)A(b-x)^n$

Poirot · March 2018

Attention, tu as des problèmes d'indice : tu parles de $k-1$ alors que $k$ peut prendre la valeur $1$. Sinon oui, on obtient ça par une simple comparaison des termes dans les deux sommes.

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