Inégalité de Hardy, de Hölder

Bonjour,

$f$ est continue positive, $F(x) = \int_0^x f(t)dt$ et $G(x) = F(x) x^{-1}$ pour $x>0$ évidemment.

Pour prouver que $\int_0^{+\infty} G(x)^p dx = \dfrac{p}{p-1} \int_{0}^{+\infty} G(x)^{p-1} f(x) dx \leq (\dfrac{p}{p-1})^p \int_{0}^{+\infty} f(x)^p dx$ et que $||G||_p \leq \dfrac{p}{p-1} ||f||_p$.

Pour la première égalité à prouver, pas de problème.
Par contre, pour l'inégalité, je ne comprends pas bien la correction.

$\int_0^{+\infty} G(x)^{p-1} f(x) dx \leq (\int_0^{+\infty} G(x)^p dx)^{\frac{p-1}{p}} (\int_0^{+\infty} f(x)^p dx)^{\frac{1}{p}}$.

On a utilisé l'inégalité de Hölder, sauf que je ne vois pas bien comment ils l'ont appliqué.
Ils ont fait $||G^{p-1} f||_1 \leq ||G||_p^{p-1} ||f||_p$. Je ne connaissais pas cette application avec Hölder. Il me semblait qu'on faisait $||fg||_1 \leq ||f||_p ||g||_q$ si $1/p+1/q=1$ et $f \in L^p$, $g \in L^q$.

Puis la deuxième inégalité trouvée :
$(\int_0^{+\infty} G(x)^p dx)^{1/p} \leq \dfrac{p}{p-1} (\int_0^{+\infty} f(x)^p dx)^{1/p}$, de là il est facile de déduire le résultat souhaité.
Sauf qu'encore une fois je ne vois vraiment pas comment on arrive à cette inégalité...

Quelqu'un pourrait m'expliquer ? Je lui en serais grandement reconnaissante !
Merci d'avance.