Limite hilbertienne

Bonjour,

Prenons un espace de Hilbert $H$ et $U$ un autre Hilbert telle que l'injection $H \hookrightarrow U$ soit un opérateur de Hilbert-Schmidt. Prenons $(e_k)_{k\geqslant 0}, (\varepsilon_n)_{n \geqslant 0}$ deux bases hilbertiennes de $H$. On a bien sûr $\displaystyle \sum_k(|e_k|_U^2 +|\varepsilon_n|^2_U) < +\infty$. J'aimerais montrer que : $$
A_n := \sum_{k=0}^n \sum_{\ell \geqslant n} \big((e_k,\varepsilon _{\ell})_H \varepsilon _{\ell},e_k\big)_U \xrightarrow[n \to \infty]{} 0.
$$ On écrira cette somme $\displaystyle A_n := \sum_{k=0}^{+\infty} a_n(k)$ où : $$a_n(k) := \mathbf{1}_{k \leqslant n} \sum_{\ell \geqslant n} \big((e_k,\varepsilon _{\ell})_H \varepsilon _{\ell},e_k\big)_U = \mathbf{1}_{k \leqslant n} \Big( \sum_{\ell \geqslant n} (e_k,\varepsilon _{\ell})_H \varepsilon _{\ell},e_k\Big)_U.$$ Mais on sait que $\sum_{\ell \leqslant n} (e_k,\varepsilon _{\ell})_H \varepsilon _{\ell} \to e_k$ dans $H$ donc a fortiori dans $U$ de sorte que l'on s'attend à ce que la limite de la somme soit bien zéro. Pour le prouver j'ai essayé tout naturellement une convergence dominée : en majorant très brutalement je majore comme cela : $a_n(k) \leqslant |e_k|_H |e_k|_U$ qui diverge en général, j'ai juste fait Cauchy-Schwarz, puis utilisé l'injection $H \hookrightarrow U$ et le fait que dans $H$ l'orthogonalité du reste avec la somme partielle donne la majoration de la norme du reste par la norme du vecteur, et bien sûr on utilise $\displaystyle e_k= \sum_{\ell \geqslant 0} (e_k,\varepsilon_{\ell})_H \varepsilon _{\ell}$.

Une idée plus subtile pour la domination ? Ou une autre méthode ?